Tuckercirkel

Een Tuckercirkel is een cirkel die op een bepaalde wijze in een gegeven driehoek wordt geconstrueerd. De cirkel is naar Robert Tucker (1832-1905) vernoemd.

Definitie

Een Tuckercirkel is de omgeschreven cirkel van een Tuckerzeshoek. Een Tuckerzeshoek wordt op de volgende manier gevonden:

• Neem een punt T₁ op BC.
• Construeer het punt T₂ op AC zodat T₁T₂ evenwijdig is aan AB.
• Construeer het punt T₃ op AB zodat T₂T₃ antiparallel is aan BC.
• Construeer het punt T₄ op BC zodat T₃T₄ evenwijdig is aan AC.
• Construeer het punt T₅ op AC zodat T₄T₅ antiparallel is aan AB.
• Construeer het punt T₆ op AB zodat T₅T₆ evenwijdig is aan BC.
• T₁T₆ is antiparallel is aan AC.

Eigenschappen

• Het middelpunt T van een Tuckercirkel ligt altijd op de as van Brocard.
• De lijnstukken T₂T₃, T₄T₅ en T₁T₆ zijn even lang.
• De hoeken T₂TT₃, T₄TT₅ en T₁TT₆ zijn gelijk. De helft van deze hoek, φ, wordt gebruikt als parameter voor Tuckercirkels.
• De straal $R_{\phi }$ van een Tuckercirkel wordt gegeven door

${\frac {R\sin \omega }{\sin(\phi +\omega )}},$

hierin is R de straal van de omgeschreven cirkel en ω de hoek van Brocard.

• De barycentrische coördinaten van T zijn $(a\cos(\alpha -\phi ):b\cos(\beta -\phi ):c(\cos \gamma -\phi )).$

Voorbeelden

• De eerste cirkel van Lemoine, met $\phi =\omega$.
• De tweede cirkel van Lemoine, met $\phi ={\frac {\pi }{2}}$.
• De cirkel van Taylor, met $\tan \phi =-\tan \alpha \tan \beta \tan \gamma$.
• Door de driehoek ABC zelf als Tuckerzeshoek op te vatten is ook de omgeschreven cirkel een Tuckercirkel, met $\phi =0$.