Tussenwaardestelling

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Tussenwaardestelling

In de reeëlwaardige analyse stelt de tussenwaardestelling of stelling van Bolzano dat een reële functie f(x), continu in een gesloten interval [a, b], alle mogelijke waarden tussen f(a) en f(b) aanneemt. De stelling is sterk gelateerd aan de middelwaardestelling en soms wordt de tussenwaardestelling ook zo genoemd.

Stelling[bewerken]

De tussenwaardestelling kan op twee manieren geformuleerd worden.

Tussenwaardestelling voor een waarde

Zij f een continue reëelwaardige functie op het interval [a,b] en γ een getal tussen f(a) en f(b), dus

f(a)\leq \gamma \leq f(b) \mbox{ indien }f(a)\leq f(b)

of

f(b)\leq \gamma \leq f(a) \mbox{ indien }f(b)\leq f(a).

Dan bestaat er een c \in [a,b] met f(c) = γ.

In het speciale geval dat γ = 0 heet de stelling: de stelling van Bolzano.

Tussenwaardestelling voor een interval

Zij [a,b] en f als boven. Dan is f([a, b]) een interval, en dit bevat alle waarden tussen f(a) en f(b):

f([a,b]) \supseteq [f(a),f(b)] \mbox{ indien }f(a)\leq f(b)

of

f([a,b]) \supseteq [f(b),f(a)] \mbox{ indien }f(b)\leq f(a)

Voorbeeld[bewerken]

De functie f(x) = x2 is continu op [a,b] = [0, 2]. Er is dus altijd een a\leq x\leq b te vinden met 0\leq f(x)\leq 4.