Wet van Bernoulli

De Bernoullivergelijking op drie punten in een buis

De wet van Bernoulli is een natuurkundige wetmatigheid die het stromingsgedrag van vloeistoffen en gassen beschrijft, en de drukveranderingen aan hoogte- en snelheidsveranderingen relateert. Het is een wet uit de aero- en hydrodynamica die in de achttiende eeuw werd beschreven door Daniel Bernoulli.

Een van de natuurkundige effecten die de wet beschrijft is dat een toename in de snelheid van een vloeistof of gas gepaard gaat met een verlaging van de druk in die vloeistof of dat gas.

Beschrijving

De wet is genoemd naar Daniel Bernoulli, hoewel het Leonhard Euler was die de vergelijking in de hiervolgende vorm als eerste afleidde. De formule is een vereenvoudigde vorm (onder strenge voorwaarden) van de wet van behoud van energie. In feite formuleert de wet het behoud van de energiedichtheid langs een stroomlijn voor stationaire stromingen in onsamendrukbare en niet-viskeuze media met constante (massa)dichtheid. Langs een stroomlijn geldt:

$\begin{matrix} \frac 12 \end{matrix} \rho v^2 + \rho gh+ p= \mathrm{constant}.$

Hierin is:

v de snelheid (m/s)

g de valversnelling (m/s²)

h het hoogteverschil (m)

p de druk (Pa)

ρ de (massa)dichtheid (kg/m³)

In de formule zien we de kinetische energiedichtheid of dynamische druk $\begin{matrix} \frac 12 \end{matrix} \rho v^2$ en de gravitatiedruk ρ.g.h

Omgerekend naar lengte-eenheden levert dit voor het totale energieniveau H [m] van de stromende vloeistof:

$\frac{ v^2}{2g}+h+{p \over \rho g}=H .$

Hierin is $h +{p \over \rho g}$ het zogenaamde piëzometrisch niveau en ${v^2 \over 2 g}$ de snelheidscomponent.

Uitbreiding

De wet kan uitgebreid worden door toe te laten dat de temperatuur van het medium langs de stroomlijn verandert:

$\tfrac 12 v^2+ gh + {p \over \rho}+\frac{u}{g}=\mathrm{constant}$

u: dichtheid van de energie-inhoud van het medium (indien het medium opgewarmd wordt, stijgt u)

De wet is van toepassing als de volgende aannames van toepassing zijn:

• Viscositeit = 0
• Stationaire stroming
• ρ is constant

De wet geldt alleen voor twee punten op dezelfde stroomlijn.

Figuur wet van Toricelli

Aan de hand van deze vergelijking kan de wet van Torricelli, waarmee de snelheid van water onderaan een vrij reservoir berekend wordt, aangetoond worden:

$\tfrac 12 v_a^2+gh_a+{p_a \over \rho} + {u_a \over g} = \tfrac 12v_b^2+gh_b+{p_b \over \rho} + {u_b \over g}$

We verwaarlozen de term v_a, stellen p_a=p_b (vrij reservoir), nemen h_a=0 en h_b=-h, en veronderstellen dat de inwendige energie van het water niet verandert; dan wordt de formule:

$0= \tfrac 12 v_b^2-gh \Rightarrow v_b = \sqrt{2 g h}$

Toepassingen

De Wet van Bernoulli wordt onder andere gebruikt in berekeningen aan een pitotbuis.

Een veelgebruikte afgeleide formule van de wet binnen de procestechnologie is:

$p_a + \rho gh_a + \tfrac 12 \rho v^{2}_a = p_b + \rho gh_b + \tfrac 12\rho v^2_b + \Delta p_f$

Hierin is:

• $p_a$:De druk op punt a (als voorbeeld kan bovenstaande afbeelding gebruikt worden)
• $\rho$: De dichtheid van de vloeistof
• $g$: De gravitatieconstante
• $h_a$: De (relatieve) hoogte op punt a
• $v^{{2}}_a$: De stroomsnelheid op punt a in het kwadraat
• $p_b$: De druk op punt b
• $h_b$: De (relatieve) hoogte op punt b
• $v^{{2}}_b$: De stroomsnelheid op punt b in het kwadraat
• $\Delta p_f$: De drukval als gevolg van wrijving.

Deze formule kan natuurlijk ook uitgebreid worden voor meer dan twee punten. In principe is het mogelijk om oneindig veel punten te beschrijven. De formule ziet er dan als volgt uit:

$p_1 + \rho gh_1 + \tfrac 12\rho v^2_1 = p_2 + \rho gh_2 + \tfrac 12\rho v^2_2 + \Delta p_{f \langle 1,2 \rangle} ={\quad \rm... = } p_n + \rho gh_n +\tfrac 12 \rho v^2_n +\Delta p_{f \langle n-1,n \rangle}$

Mediabestanden

Zie de categorie Bernoulli's principle van Wikimedia Commons voor meer mediabestanden.