Bord van Galton

Het Bord van Galton of quincunx is een door de Britse bioloog, fysicus en wiskundige Francis Galton (1822–1911) ontworpen model van de binomiale verdeling waarmee getoond kan worden hoe de binomiale verdeling convergeert naar een normale verdeling.

Het bord bestaat uit rijen pinnen op gelijke afstand. De bovenste rij bestaat uit slechts één pin, en elke volgende rij bevat één pin meer dan de bovenliggende. Elke volgende rij verspringt over de halve afstand tussen de pinnen. Het aantal horizontale rijen pinnen is van weinig belang: ze bepalen enkel het aantal bakjes onderaan het bord. Bovenaan bevindt zich een trechter met kogeltjes erin. Elk kogeltje dat naar beneden valt botst eerst op de eerste pin, en beweegt hetzij naar links, hetzij naar rechts. Hierna botst het op een van de twee pinnen van de tweede rij, en beweegt weer hetzij naar links, hetzij naar rechts. Hierna botst het op een van de drie pinnen van de derde rij enz.

De afstand tussen de pinnen is zo gekozen dat een kogeltje met gelijke kansen naar links of naar rechts beweegt, dus telkens met een kans van 50%.

                 *
               *   *
             *   *   *
           *   *   *   *
         *   *   *   *   *
       *   *   *   *   *   *
   |   |   |   |   |   |   |   |
   | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |

De kansen dat een kogeltje in de respectievelijke bakjes terechtkomen (voor het voorbeeld van de voorgaande figuur, namelijk met 6 rijen pinnen en dus 7 bakjes) zijn als volgt:

bakje 1: 1/64 =

1\times (1/2)^{6}

bakje 2: 6/64 =

6\times (1/2)^{6}

bakje 3: 15/64 = ...

bakje 4: 20/64

bakje 5: 15/64

bakje 6: 6/64

bakje 7: 1/64

Merk op dat de 6e macht van 1/2 afkomstig is van het aantal bakjes –1 (namelijk 7 – 1 = 6). Merk ook op dat als we dan in de 7e rij van de driehoek van Pascal kijken, we exact dezelfde cijfers terugvinden als de (vetgedrukte) coëfficiënten van onze zevende macht van 1/2, die op haar beurt slaat op de 50% kans die een kogeltje heeft om naar links of rechts te vallen.

Opmerking

Het is niet bepaald dat de quincunx 6 rijen pinnen moet hebben. Dit kunnen er ook meer of minder zijn. Het aantal bakjes is altijd juist één meer dan het aantal rijen. Weet ook dat de coëfficiënten van 1/2, verheven tot de macht van een minder dan het aantal bakjes, overeenkomen met de getallen in de zoveelste (namelijk het aantal bakjes) rij uit de driehoek van Pascal.

Zie de categorie Galton box van Wikimedia Commons voor mediabestanden over dit onderwerp.