Cirkel van Mohr

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Mohrs circle.png

De cirkel van Mohr (genoemd naar de Duitse mechanicus Otto Mohr (1835 - 1918)) is een grafisch diagram waarin een mechanische spanningstoestand wordt weergegeven. In een tweedimensionale ruimte tussen schuifspanning en normaalspanning plot de spanning als een cirkel. De kleinste en grootste principiële hoofdspanningen zijn de snijpunten met de as van de normaalspanning en het middelpunt van de cirkel ligt op deze as.

De tweedimensionale tensorweergave (de tensor van Chauchy) van de spanning is:

\sigma_{ij}= 
 \left[{\begin{matrix}
   {\sigma _x } & {\tau _{xy}} \\  
   {\tau _{xy}} & {\sigma _y } \\  
  \end{matrix}}\right]

Waarin met  \sigma de normaalspanningen en met  \tau de schuifspanningen zijn aangegeven.

De principiële spanningsrichtingen ( \sigma_1 en \sigma_2) zijn per definitie de richtingen waarin geen schuifspanning werkt. Dit zijn wiskundig gezien de eigenwaardes van de spanningstensor, zodat ze als volgt te berekenen zijn:

\sigma _1 = \frac {\sigma _x + \sigma _ y}{2} + \sqrt{ \left( \frac {\sigma _x - \sigma _ y}{2} \right)^2 + {\tau _{xy}}^2 }
\sigma _2 = \frac {\sigma _x + \sigma _ y}{2} - \sqrt{ \left( \frac {\sigma _x - \sigma _ y}{2} \right)^2 + {\tau _{xy}}^2 }

Het eerste deel van deze formules is grafisch een translatie in de normaalspanningsrichting, het tweede deel is een cirkel.

Als er sprake is van drie dimensies, zijn er drie principiële spanningsrichtingen (\sigma _1, \sigma _2 en \sigma _3). In drie dimensies kan de spanning dan als een ellipsoïde worden weergegeven, maar dit is voor de analyse van schuifspanning niet nodig. De grootste schuifspanning heerst namelijk tussen de grootste en de kleinste principiële spanningsrichtingen (\sigma _1 en \sigma _3), zodat alleen deze twee richtingen geanalyseerd hoeven te worden. In dat geval kan weer een Mohrcirkel worden getekend met als snijpunten van de horizontale (normaalspannings-) as de waarden van \sigma _1 en \sigma _3.

Zie ook[bewerken]