Ellipsoïde

Een ellipsoïde is een kwadratisch oppervlak met drie loodrechte symmetrieassen.

De relatie die een ellipsoïde in het Cartesisch coördinatenstelsel beschrijft is:

{x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}+{z^{2} \over c^{2}}=1

Waarin a, b en c de vorm van de ellipsoïde vastlegt en er geldt:

$a={\tfrac {1}{2}}L$ : helft van maximale lengte
$b={\tfrac {1}{2}}B$ : helft van maximale breedte
$c={\tfrac {1}{2}}H$ : helft van maximale hoogte

Wanneer a = b = c geldt dan betreft het een bol.

Als we stellen a ≥ b ≥ c, dan geldt voor:

a ≠ b levert een ongelijke ellipsoïde
c = 0 & a ≠ c & b ≠ c levert een platte ellips
b = c & a ≠ b & a ≠ c levert een prolate sferoïde (sigaarvormig)
a = b & a ≠ c & b ≠ c levert een oblate sferoïde (pilvormig)
a = b = c levert een bol.

Elke ellipsoïde kan worden gevormd door een bol in een of twee richtingen (langs orthogonale assen) te verschalen.

Parametervergelijking

De volgende parametervergelijking stelt een ellips in het xy-vlak voor: $[a\cos(\theta ),b\sin(\theta ),0]{\frac {}{}}$ ( $\theta$ van 0 tot $2\pi$ ), na rotatie rond bijvoorbeeld de x-as wordt de parametervergelijking $[a\cos(\theta ),b\sin(\theta )\cos(\phi ),b\sin(\theta )\sin(\phi )]{\frac {}{}}$ , ( $\theta$ en $\phi$ van 0 tot $2\pi$ ) Hiermee kan een prolate of oblate ellipsoïde worden geconstrueerd, maar niet een ongelijke.

Volume

Het volume van een ellipsoïde is eenvoudig te berekenen met de relatie:

V={\tfrac {4}{3}}\pi abc

Uitgaande van de maximale lengte, breedte en hoogte wordt het volume uitgedrukt door:

V={\tfrac {1}{6}}\pi LBH\approx 0{,}524\ LBH

Oppervlakte

De oppervlakte is een stuk lastiger om te berekenen. Analytische afleiding geeft:

A=2\pi \left(c^{2}+{\frac {bc^{2}}{\sqrt {a^{2}-c^{2}}}}F(\theta ,m)+b{\sqrt {a^{2}-c^{2}}}E(\theta ,m)\right)

waarvoor geldt:

m={\frac {a^{2}(b^{2}-c^{2})}{b^{2}(a^{2}-c^{2})}}

\theta =\arcsin {\left(e\right)}

e={\sqrt {1-{\frac {c^{2}}{a^{2}}}}}

en $F(\theta ,m)$ en $E(\theta ,m)$ zijn onvolledige elliptische integralen van de eerste en tweede orde.

Bij benadering levert dit de volgende relaties op:

platte Ellips:

=2\pi \left(ab\right)

(factor 2 vanwege bovenste plak + onderste plak)

prolate ellipsoïde:

\approx 2\pi \left(c^{2}+ac{\frac {\arcsin {\left(e\right)}}{e}}\right)

oblate ellipsoïde:

\approx 2\pi \left(a^{2}+c^{2}{\frac {\operatorname {arctanh} {\left(e\right)}}{e}}\right)

ongelijke ellipsoïde:

\approx 4\pi \left({\frac {a^{p}b^{p}+a^{p}c^{p}+b^{p}c^{p}}{3}}\right)^{1/p}

Voor p ≈ 1,6075 geeft dit een relatieve fout van maximaal 1,061% (Knud Thomsens formule); een waarde van p = 8/5 = 1,6 is optimaal voor bijna sferische ellipsoïden, met een relatieve fout van maximaal 1,178% (David W. Cantrells formule).

De bol en drie soorten ellipsoïden in beeld: blauw de ongelijke, geel de prolate en rood de oblate vorm.

Zie ook