Ellipsoïde

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Ellipsoïde met (a, b, c) = (4, 2, 1)

Een ellipsoïde is een kwadratisch oppervlak met drie loodrechte symmetrieassen.

De relatie die een ellipsoïde in het Cartesisch coördinatenstelsel beschrijft is:

Waarin a, b en c de vorm van de ellipsoïde vastlegt en er geldt :

  •  : helft van maximale lengte
  •  : helft van maximale breedte
  •  : helft van maximale hoogte

Wanneer a = b = c geldt dan betreft het een bol.

Als we stellen a ≥ b ≥ c, dan geldt voor:

  • a ≠ b levert een ongelijke ellipsoïde
  • c = 0 & a ≠ c & b ≠ c levert een platte ellips
  • b = c & a ≠ b & a ≠ c levert een prolate sferoïde (sigaarvormig)
  • a = b & a ≠ c & b ≠ c levert een oblate sferoïde (pilvormig)
  • a = b = c levert een bol.

Elke ellipsoïde kan worden gevormd door een bol in een of twee richtingen (langs orthogonale assen) te verschalen.

Parametervergelijking[bewerken]

Constructie van een oblate ellipsoïde, door het wentelen van een ellips (zwart) rond zijn kleine as (oranje)

De volgende parametervergelijking stelt een ellips in het xy-vlak voor: ( van 0 tot ), na rotatie rond bijvoorbeeld de x-as wordt de parametervergelijking , ( en van 0 tot ) Hiermee kan een prolate of oblate ellipsoïde worden geconstrueerd, maar niet een ongelijke.

Volume[bewerken]

Het volume van een ellipsoïde eenvoudig te berekenen met de relatie:

Uitgaande van de maximale lengte, breedte en hoogte wordt het volume uitgedrukt door :

Oppervlakte[bewerken]

De oppervlakte is een stuk lastiger om te berekenen. Analytische afleiding geeft:

waarvoor geldt:

en en zijn onvolledige elliptische integralen van de eerste en tweede orde.

Bij benadering levert dit de volgende relaties op:

platte Ellips: (factor 2 vanwege bovenste plak + onderste plak)
prolate ellipsoïde
oblate ellipsoïde:
ongelijke ellipsoïde:

Voor p ≈ 1,6075 geeft dit een relatieve fout van maximaal 1,061% (Knud Thomsens formule); een waarde van p = 8/5 = 1,6 is optimaal voor bijna sferische ellipsoïden, met een relatieve fout van maximaal 1,178% (David W. Cantrells formule).

De bol en drie soorten ellipsoïden in beeld: blauw de ongelijke, geel de prolate en rood de oblate vorm.

Zie ook[bewerken]