Decimale breuk

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
(Doorverwezen vanaf Decimaalteken)
Ga naar: navigatie, zoeken

Een decimale breuk is een breuk met als noemer een macht van 10, dus 10, 100, 1000, etc. Decimale breuken worden doorgaans niet als breuk geschreven maar als een rij cijfers, waarbij de fractie gescheiden wordt van het gehele deel door een decimaalteken: meestal een komma (in België, Nederland en de meeste andere Europese landen) of een decimale punt (in Angelsaksische landen)[1].

Ieder reëel getal kan geschreven worden als een, mogelijke oneindige, decimale breuk. Met willekeurige nauwkeurigheid kan ieder reëel getal worden benaderd door een eindige decimale breuk (afronding).

Eindige decimale breuken zijn rationale getallen (breuken), maar niet alle breuken zijn zo te schrijven. Zo is 1 : 3 = 0,33333333... Een oneindige decimale breuk is een rationaal getal dan en slechts dan als deze repeterend is.

Staartdeling[bewerken]

Elk rationaal getal kan als decimale breuk, al dan niet repeterend, geschreven worden. Dit kan ingezien worden door de deling van teller en noemer uit te voeren als een staartdeling.

Elke breuk, als de uitkomst géén geheel getal of een decimale breuk met een eindig aantal decimalen is, is altijd een repeterende decimale breuk. Aan de hand van het volgende voorbeeld zien we waarom dat zo is.

We delen 7 door 13; hieronder staat een deel van de staartdeling (Nederlandse notatie):

  13 / 7,00000000 \ 0,538461...
       6,5
       ---
         50
         39
         --
         110
         104
         ---
           60
           52
           --
            80
            78
            --
             20
             13
             --
              7

Nu is er een rest 7, waardoor er een situatie ontstaat die al eerder is opgetreden. De geschiedenis herhaalt zich: er ontstaat een repeterend gedeelte.

Omdat er bij deling door 13 hoogstens 13 verschillende resten kunnen ontstaan, gaat de deling op bij rest 0, of ontstaat een herhaling van zetten.

Gemakkelijk is in te zien dat bij een deler n na hoogstens n stappen de deling opgaat of herhaling optreedt.

Conclusie: iedere breuk van het type mn (waarbij m en n gehele getallen zijn) is

  • ofwel een geheel getal, bijvoorbeeld 84 = 2;
  • ofwel een eindige decimale breuk (bijvoorbeeld: 24 = 0,5);
  • ofwel een repeterende breuk waarin na ten hoogste n-1 decimalen een herhaling optreedt.

Historie[bewerken]

Voor 1600 werd voor het rekenen met niet-gehele getallen normaal gesproken gewerkt met algemene breuken, gebaseerd op handige noemers. Er waren wel gestandaardiseerde methoden die met 60-tallige breuken werkten, maar over het algemeen was het heel moeilijk om aan de breuk te zien in hoeverre die het gewenste niet-gehele getal werkelijk benaderde. Decimale breuken werden al wel gebruikt, maar alleen om te kunnen worteltrekken. In het dagelijks leven werkte men daar niet mee.

In 1586 schreef Simon Stevin zijn beroemde werk De Thiende, waarin hij het algemeen gebruik van breuken op basis van het tientallig stelsel beschreef. Hij gebruikte daarvoor nog niet de notatie met een decimale punt of decimale komma zoals wij dat nu doen, maar een notatie waar achter elk cijfer in een cirkel de (negatieve) macht van 10 kwam te staan die op dat cijfer van toepassing was. Wat wij nu als 6,87 schrijven, schreef Simon Stevin als 6⓪8①7②.

Pas toen Bartholomaeus Pitiscus in zijn trigonometrische tabellen in 1612 de decimale scheiding in de vorm van een punt gebruikte en dit gebruik in 1614 en 1619 door John Napier in zijn artikelen over logaritmen werd erkend, werd de huidige notatie van de decimale breuk in gebruik genomen.

Bronnen, noten en/of referenties
  1. Op computers kan men vaak in het besturingssysteem en/of in afzonderlijke toepassingsprogramma's het decimaalteken instellen.