Dirichlet-èta-functie

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
De Dirichlet-èta-functie  \eta(s) in het complexe vlak. De kleur van een punt s codeert voor de waarde van  \eta(s) . Sterke kleuren duiden op waarden dicht bij nul en de tint codeert voor de waarde van het argument.

In de analytische getaltheorie, een deelgebied van de wiskunde, wordt de Dirichlet-èta-functie gedefinieerd door de onderstaande Dirichlet-reeks, die voor alle complexe getallen met reëel deel > 0 convergeert.

\eta(s) = \sum_{n=1}^{\infty}{(-1)^{n-1} \over n^s} = \frac{1}{1^s} - \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} - \frac{1}{4^s} + \cdots

Deze Dirichlet-reeks is de alternerende som die correspondeert met de Dirichlet-reeksontwikkeling van de Riemann-zèta-functie, ζ(s) - en om die reden staat de Dirichlet-èta-functie ook wel bekend als de alternerende zètafunctie, ook aangeduid met ζ*(s). De volgende eenvoudige relatie geldt:

\eta(s) = \left(1-2^{1-s}\right) \zeta(s)