Dirichletreeks

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Een dirichletreeks, genoemd naar de Duitse wiskundige Johann Dirichlet, is in de wiskunde een reeks van de vorm:

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n^s},

waarin s en de coëfficiënten (a_n) complexe getallen zijn. De reeks wordt, bij gegeven coëfficiënten, opgevat als een complexe functie van het argument s.

Dirichletreeksen vinden toepassing in de analytische getaltheorie om getaltheoretische problemen met behulp van methoden uit de functietheorie te onderzoeken. Een bekend voorbeeld is de riemann-zeta-functie.

Convergentie[bewerken]

De functie f die bij gegeven a_n bepaald wordt door de dirichletreeks:

 f(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{n^s},

heeft alleen betekenis voor waarden van s waarvoor de reeks convergent is.

Is de rij (a_n)_{n \in \N} begrensd, dan is de reeks absoluut convergent op het open halfvlak waarin \Re(s) > 1. De functie f is op dat halfvlak dan een analytische functie.

De riemann-zeta-functie[bewerken]

Als a_n=1 voor alle n, ontstaat de riemann-zeta-functie

\zeta(s) =\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s},

die voor s=1 de harmonische reeks beschrijft en voor andere waarden van s de hyperharmonische reeksen.