Dirichletreeks

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Een dirichletreeks, genoemd naar de Duitse wiskundige Johann Dirichlet, is in de wiskunde een reeks van de vorm:

waarin en de coëfficiënten complexe getallen zijn. De reeks wordt, bij gegeven coëfficiënten, opgevat als een complexe functie van het argument .

Dirichletreeksen vinden toepassing in de analytische getaltheorie om getaltheoretische problemen met behulp van methoden uit de functietheorie te onderzoeken. Een bekend voorbeeld is de riemann-zeta-functie.

Convergentie[bewerken]

De functie die bij gegeven bepaald wordt door de dirichletreeks:

,

heeft alleen betekenis voor waarden van waarvoor de reeks convergent is.

Is de rij begrensd, dan is de reeks absoluut convergent op het open halfvlak waarin . De functie is op dat halfvlak dan een analytische functie.

De riemann-zeta-functie[bewerken]

Als voor alle , ontstaat de riemann-zeta-functie

,

die voor de harmonische reeks beschrijft en voor andere waarden van de hyperharmonische reeksen.