Bij zijn wereldbekerdebuut, in december 1995 in Tignes, scoorde Dasjinski direct zijn eerste wereldbekerpunten. Een maand later eindigde hij in Lake Placid voor de eerste maal in zijn carrière in de top tien van een wereldbekerwedstrijd. In januari 1997 stond Dasjinski in Breckenridge voor de eerste keer op het wereldbekerpodium. Op 17 januari 1999 boekte hij in Steamboat Springs zijn eerste wereldbekerzege. In het seizoen 2005/2006 legde Dasjinski beslag op de eindzege in het aerialsklassement.
Dasjinski nam deel aan vijf Olympische Winterspelen. Op de Olympische Winterspelen van 1998 in Nagano veroverde hij de bronzen medaille. Acht jaar later, op de Olympische Winterspelen van 2006 in Turijn, sleepte hij de zilveren medaille in de wacht.
Wit-Rusland
Nagano
Aerials
Salt Lake City
Turijn
Aerials
.svg){kind=small}
Vancouver
Sotsji.svg){kind=small}
Hasliberg
Ruka
Voss
Špindlerův Mlýn
Changchun