Driehoeksmatrix

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de lineaire algebra, is een driehoeksmatrix (ook wel triangulaire matrix genoemd) een vierkante matrix waarin alle elementen onder of boven de hoofddiagonaal nul zijn. Indien de elementen onder de hoofddiagonaal nul zijn, wordt de matrix een bovendriehoeksmatrix genoemd, anders een benedendriehoeksmatrix. Aangezien een stelsel lineaire vergelijkingen Ax = b, waarbij A een driehoeksmatrix is, eenvoudig is op te lossen, zijn driehoeksmatrices zeer belangrijk in de numerieke analyse. LU-decompositie geeft een algoritme om elke inverteerbare matrix A te splitsen in een genormeerde benedendriehoeksmatrix L en een bovendriehoeksmatrix U.

Definitie[bewerken]

Een benedendriehoeksmatrix is een matrix van het type

 L =
\begin{bmatrix}
l_{1,1}   & 0         & \ldots     & \ldots  & \ldots  & 0           & 0      \\
l_{2,1}   & l_{2,2}   & 0          & \ldots  & \ldots  & 0           & 0      \\
l_{3,1}   & l_{3,2}   & l_{3,3}    & 0       & \ldots  & 0           & 0      \\
\vdots    & \vdots    & \vdots     & \ddots  & \ddots  & \vdots      & \vdots \\
\vdots    & \vdots    & \vdots     &         & \ddots  & 0           & 0      \\
l_{n-1,1} & l_{n-1,2} & l_{n-1,3}  & \ldots  & \ldots  & l_{n-1,n-1} & 0      \\
l_{n,1}   & l_{n,2}   & l_{n,3}    & \ldots  & \ldots  & l_{n,n-1}   & l_{n,n}
\end{bmatrix}

Een bovendriehoeksmatrix is een matrix van het type

 U =
\begin{bmatrix}
u_{1,1} & u_{1,2} & u_{1,3} & \ldots & \ldots & u_{1,n-1}   & u_{1,n}   \\
  0     & u_{2,2} & u_{2,3} & \ldots & \ldots & u_{2,n-1}   & u_{2,n}   \\
  0     & 0       & u_{3,3} & \ldots & \ldots & u_{3,n-1}   & u_{3,n}   \\
  0     & 0       & 0       & \ddots &        & \vdots      & \vdots    \\
 \vdots & \vdots  & \vdots  & \ddots & \ddots & \vdots      & \vdots    \\
  0     & 0       & 0       & \ldots & 0      & u_{n-1,n-1} & u_{n-1,n} \\
  0     & 0       & 0       & \ldots & \ldots & 0           & u_{n,n}
\end{bmatrix}

Als tevens op de hoofddiagonaal alleen nullen staan, wordt de matrix een strikte (beneden of boven) driehoeksmatrix genoemd.

Voorbeelden[bewerken]

De matrices


\begin{bmatrix}
1 & 4 & 2 \\
0 & 3 & 4 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
2 & 8 & 0 \\
4 & 9 & 7 \\
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
0 & 0  & 0  & 0\\
2 & 0  & 0  & 0\\
3 & -3 & 0  & 0\\
0 & 0  & -1 & 0\\
\end{bmatrix}

zijn achtereenvolgens een bovendriehoeks-, een benedendriehoeks- en een strikt benedendriehoeksmatrix.

Zie ook[bewerken]