Eigentijd

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Eigentijd is een begrip uit de relativiteitstheorie. Het geeft de tijd, zoals gemeten door een (bewegende) waarnemer.

Achtergrond[bewerken]

Volgens de relativiteitstheorie zijn bepaalde grootheden niet eenduidig bepaald, maar hangen deze af van de waarnemer die ze meet. Eén van die grootheden is de tijd. Tijddilatatie is het verschijnsel dat voor een waarnemer die beweegt met een constante snelheid de tijd in een ten opzichte van hem bewegend ruimtevaartuig trager lijkt te verlopen, zelfs als hij rekening houdt met de tijd die signalen nodig hebben om de afstand te overbruggen. Als de ander ook beweegt met een constante snelheid is dit dus wederzijds. Dit is een zeer tegen-intuïtief fenomeen, maar is experimenteel getest in verschillende experimenten. Voor dagelijkse snelheden is dit effect zeer klein, en we merken er dan ook weinig van. In meer extreme omstandigheden (waarmee snelheden in de buurt van de lichtsnelheid gemoeid zijn) is het effect wel merkbaar.

Definitie[bewerken]

De eigentijd kan voor een aantal (lichtjes verschillende) situaties gedefinieerd worden. Hieronder de meest courante.

Constante snelheid[bewerken]

Als A en B elk een constante snelheid hebben en de snelheid van B ten opzichte van A bedraagt v\,, dan is de tussen twee gebeurtenissen in het ruimteschip van B verstreken eigentijd van B gegeven door

\Delta \tau=\Delta t\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}.

waarbij c\, de lichtsnelheid is, en \Delta t\, de tijd die volgens de klok van A verstreken is tussen de gebeurtenissen, waarbij het moment van een gebeurtenis in het ruimteschip van B bijvoorbeeld berekend wordt door het moment van ontvangen van een signaal te corrigeren voor de tijd dat het signaal nodig moet hebben gehad om de afstand te overbruggen. De bovenstaande uitdrukking zegt dus het volgende: als een bepaalde persoon beweegt met snelheid v\,, gedurende een tijd \Delta t\, (gemeten door stilstaande waarnemers), zal volgens hem deze reis slechts een tijd \Delta \tau\, geduurd hebben. De duur van een reis gemeten in eigentijd is dus korter dan het tijdverloop volgens de ander.

Als de twee waarnemers eerst bij elkaar zijn, dan enige tijd zich van elkaar verwijderen als boven en dan naar elkaar terugkeren, waarbij A zijn snelheid handhaaft en B halverwege de reis zijn snelheid zodanig verandert dat de onderlinge snelheid even groot maar tegengesteld is, dan is de in totaal verstreken eigentijd van B kleiner dan die van A (tweelingparadox). Er is nu geen symmetrie meer: redeneren vanuit een stilstaande A kan wel, maar omdat B halverwege de reis is omgekeerd is er geen inertiaalstelsel waarin B de hele reis heeft stilgestaan.

Variabele snelheid[bewerken]

Het is duidelijk dat de bovenstaande uitdrukking ook veralgemeend kan worden naar waarnemers die met een variabele snelheid bewegen. In dat geval moet men het pad denkbeeldig opdelen in allemaal stukjes waarover de waarnemer beweegt met een constante snelheid, en dan de eigentijden van die stukjes bij elkaar optellen. Meer precies, men moet de eigentijd integreren over het pad. De totale verstreken tijd \tau\, op het horloge van een waarnemer die zich beweegt met een variabele snelheid v(t)\,, zoals gemeten door een stilstaande waarnemer wiens tijd gegeven is door  t\, , is:

\tau=\int d\tau = \int\sqrt{1-\frac{v(t)^2}{c^2}} dt .

Voor een constante snelheid is de integraal triviaal, en herleidt de bovenstaande uitdrukking tot de uitdrukking die hoger staat.

Met behulp van de Minkowski-metriek[bewerken]

Men kan het bovenstaande ook in een nettere notatie gieten. Laten we eerst de verstreken eigentijd van een waarnemer een nieuwe naam geven: d \tau\, in de plaats van t\,. Laten we ook de waarnemer zich in een drie-dimensionale ruimte verplaatsen: de verplaatsing is dus gegeven door een vector (\Delta x,\Delta y, \Delta z)\, . Als deze verplaatsing gebeurt binnen een tijd \Delta t_0\, (gemeten door stilstaande waarnemers), is zijn snelheid

 v= \frac{|\Delta \vec{x}|}{\Delta t} = \frac{\sqrt{(\Delta x )^2+(\Delta y)^2+( \Delta z)^2}}{\Delta t}

Op basis van de uitdrukking hoger, is het kwadraat van de verstreken eigentijd dan gegeven door

(\Delta\tau)^2=(\Delta t)^2 \left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)=(\Delta t)^2 - \frac{1}{c^2}\left((\Delta x)^2+(\Delta y)^2+( \Delta z)^2\right)

of dus

\Delta\tau=\sqrt{(\Delta t)^2 - \frac{(\Delta x)^2}{c^2} -\frac{(\Delta y)^2}{c^2} -\frac{(\Delta z)^2}{c^2}  } .

In de speciale relativiteitstheorie voegt men de verplaatsing in ruimte en in tijd samen tot één vector met vier componenten (\Delta t, \Delta x,\Delta y, \Delta z)\, , en noteert deze viervector met \Delta x^\mu\,. De index \mu\, kan dus vier waarden aannemen. Indien men ook nog de Minkowski-metriek \eta_{\mu\nu}\, (zie lager voor conventies) en de sommatieconventie invoert, kan men de bovenstaande uitdrukking eenvoudigweg schrijven als

( \Delta\tau)^2 = \Delta x^\mu \Delta x^\mu \eta_{\mu\nu}= \Delta x^\mu \Delta x_\mu

Wederom kan men tijdsafhankelijke snelheden beschouwen. In dat geval deelt men het pad denkbeeldig op in infinitesimale verplaatsingen (d t, d x,d y,d z)\, in de ruimtetijd, elk met hun eigen constante snelheid, en elk met een infinitesimale eigentijd

 d\tau=d x^\mu d x_\mu \,

De totale verstreken eigentijd is dan de som van alle infinitesimale stapjes in de eigentijd, wat aldus de volgende integraal oplevert:  \tau = \int d\tau = \int \sqrt{d x^\mu d x_\mu }  \,

In gekromde ruimte[bewerken]

In de algemene relativiteitstheorie beschrijft men ook de gravitatie. Concreet gebeurt dit door een metriek g_{\mu\nu}\, in te voeren die (in tegenstelling tot de Minkowski-metriek \eta_{\mu\nu}\,) niet meer constant en vlak is. Concreet: g_{\mu\nu}\, is een functie van de positie en tijd x^\mu\,. De uitdrukking voor de eigentijd, verstreken op het horloge van een bewegende waarnemer, is wel nog erg analoog. Men dient in de bovenstaande uitdrukkingen de Minkowski-metriek te vervangen door zijn veralgemening: de (mogelijk gekromde) metriek g_{\mu\nu}\,. Men krijgt dus:

 \tau = \int d\tau =  \int \sqrt{d x^\mu d x^\nu g_{\mu\nu}}  =\int \sqrt{ d x^\mu d x_\mu }

In de laatste uitdrukking gebeurde de contractie nu dus met g\,, niet met \eta\,.

Notatie en conventies[bewerken]

Zowel de Minkowski-metriek van de speciale relativiteitstheorie, als zijn algemeen relativistische veralgemening g\, zijn onderhevig aan een scala van verschillende definities en normeringen. Er is dus geen eenduidige definitie, en men dient wat voorzichtig te zijn als men met verschillende bronnen werkt. Soms absorbeert men een extra factor c^2\, in de definitie van \eta\, of g\,, en soms een minteken. Men dient dus wat op te letten voor zulke tekenconventies. Op sommige plaatsen leest men dus bijvoorbeeld:

 \tau = \int \sqrt{\frac{-1}{c^2}d x^\mu d x_\mu }

of nog andere varianten. (Geen minteken, wel 1/c^2\,, of net andersom.) Verschillende leerboeken gebruiken dus vaak verschillende notaties. Voor de conventies die in dit artikel werden gebruikt, heeft de Minkowski-metriek de volgende componenten:


\eta_{\mu\nu} = \left ( 
\begin{matrix} 
1 & 0 & 0 & 0 \\ 
0 & -\frac{1}{c^2} & 0 & 0  \\ 
0 & 0 & -\frac{1}{c^2} & 0  \\ 
0 & 0 & 0 & -\frac{1}{c^2}    
\end{matrix} \right )

Zie ook[bewerken]