Gebruiker:Bartvanbeselaere/Kladblok

Niet-uniforme verdeling (discreet)

In de kansrekening en de statistiek, is er de discrete uniforme kansverdeling, waar met relatief eenvoudige formules de resultaten van meerdere trekkingen kunnen berekend worden.

Hoe zit het echter met de discrete niet-uniforme kansverdeling, een discrete kansverdeling op een eindig aantal uitkomsten die alle verschillend kunnen zijn ?

Een eenvoudig voorbeeld van een discrete niet-uniforme kansverdeling is de uitkomst van een worp met een dobbelsteen, waarbij op één vlak een 1 staat, op twee vlakken een 3, en op 3 vlakken een 3. De kansen zijn dus 1/6, 1/3 en 1/2, ofwel 1/6, 2/6 en 3/6, totale kans = 1.

Trekkingen

Hoe berekent men de kans bij meerdere trekkingen ?

Door een vermenigvuldiging van de kansen als volgt te doen. Men beschouwt de elementen van de rij als een veelterm, en men berekent de machten van de veelterm.

Trekking van 2 :

(x +2.x^2+3.x^3)

• (x +2.x^2+3.x^3)

=---------------

 x^2+2.x^3+ 3.x^4
    +2.x^3+ 4.x^4+ 6.x^5
          + 3.x^4+ 6.x^5+9.x^6
=----------------------------
 x^2+4.x^3+10.x^4+12.x^5+9.x^6

Door de mogelijke waarden 1, 2 en 3 te schrijven als exponenten van x, en door de waarschijnlijkheidswaarden als coëfficienten bij die exponenten te gebruiken, krijgt men bij de vermeningvuldiging direct de juiste kansen voor de mogelijke uitkomsten in de coëfficiënten van de nieuwe veelterm, en de juiste waarden van die uitkomsten in de exponenten van x in de veelterm.

Kans op gooien van 2 = 1/36 (twee keer 1) Kans op gooien van 3 = 2/36 + 2/36 = 4/36 (1 keer 1, en 1 keer 2 of omgekeerd) Kans op gooien van 4 = 3/36 + 4/36 +3/36 = 10/36 (1 keer 1 en 1 keer 3 of omgekeerd, of 1 keer 2 en 1 keer 2 ) Kans op gooien van 5 = 6/36 + 6/36 = 12/36 (1 keer 2 en 1 keer 3 of omgekeerd) Kans op gooien van 6 = 9/36 (2 keer 3)

Wil men de kansen berekenen bij driemaal gooien, dan vermeningvuldigt men nog eens met de basis-verdeling:

(x^2+4.x^3+10.x^4+12.x^5+ 9.x^6)

              *(x +2.x^2+3.x^3)=
x^3+4.x^4+10.x^5+12.x^6+ 9.x^7
   +2.x^4+ 8.x^5+20.x^6+24.x^7+18.x^8
         + 3.x^5+12.x^6+30.x^7+36.x^8+27.x^9

=--------------------------------------------

x^3+6.x^4+21.x^5+44.x^6+63.x^7+54.x^8+27.x^9

Dus bij 3 worpen is kans op gooien van 3 = 1/216 kans op gooien van 4 = 6/216 kans op gooien van 5 = 21/216 kans op gooien van 6 = 44/216 kans op gooien van 7 = 63/216 kans op gooien van 8 = 54/216 kans op gooien van 9 = 27/216

totale kans = 216/216

Het is ook mogelijk om als exponenten geen gehele getallen te gebruiken...