Gebruiker:Hjilderda/Kladblok

	Dit is het persoonlijke kladblok van Hjilderda.
	Een kladblok is een subpagina van iemands gebruikerspagina. Het dient als testruimte voor de gebruiker en om nieuwe artikelen of langere toevoegingen aan bestaande pagina's voor te bereiden. Let op: je kladblok opslaan gaat met de knop 'publiceren'. De pagina wordt daarmee nog niet in de openbare encyclopedie geplaatst en blijft een kladpagina. De kladblokpagina is wel zichtbaar (voor iedereen die wat meer van Wikipedia) en mag dus geen onoorbare dingen te bevatten.
	Het is, ook in een kladblok, uitdrukkelijk niet toegestaan om zonder toestemming auteursrechtelijk beschermd materiaal van derden te publiceren.
	Enkele handige links: Spiekbriefje | Snelcursus Andere testplaatsen: De algemene zandbak | De probeerpagina van de snelcursus | De sjabloonzandbak

Perhaps the most well-known form of Faà di Bruno's formula says that

${d^{n} \over dx^{n}}f(g(x))=\sum {\frac {n!}{m_{1}!\,1!^{m_{1}}\,m_{2}!\,2!^{m_{2}}\,\cdots \,m_{n}!\,n!^{m_{n}}}}\cdot f^{(m_{1}+\cdots +m_{n})}(g(x))\cdot \prod _{j=1}^{n}\left(g^{(j)}(x)\right)^{m_{j}},$

where the sum is over all n-tuples of nonnegative integers (m₁, …, m_n) satisfying the constraint

$1\cdot m_{1}+2\cdot m_{2}+3\cdot m_{3}+\cdots +n\cdot m_{n}=n.\,$

Sometimes, to give it a memorable pattern, it is written in a way in which the coefficients that have the combinatorial interpretation discussed below are less explicit:

${d^{n} \over dx^{n}}f(g(x))=\sum {\frac {n!}{m_{1}!\,m_{2}!\,\cdots \,m_{n}!}}\cdot f^{(m_{1}+\cdots +m_{n})}(g(x))\cdot \prod _{j=1}^{n}\left({\frac {g^{(j)}(x)}{j!}}\right)^{m_{j}}.$

Combining the terms with the same value of m₁ + m₂ + ... + m_n = k and noticing that m _j has to be zero for j > n − k + 1 leads to a somewhat simpler formula expressed in terms of Bell polynomials B_n,k(x₁,...,x_n−k+1):

${d^{n} \over dx^{n}}f(g(x))=\sum _{k=1}^{n}f^{(k)}(g(x))\cdot B_{n,k}\left(g'(x),g''(x),\dots ,g^{(n-k+1)}(x)\right).$

In combinatorial mathematics, the Bell polynomials, named in honor of Eric Temple Bell, are a triangular array of polynomials given by

$B_{n,k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-k+1})$

$=\sum {n! \over j_{1}!j_{2}!\cdots j_{n-k+1}!}\left({x_{1} \over 1!}\right)^{j_{1}}\left({x_{2} \over 2!}\right)^{j_{2}}\cdots \left({x_{n-k+1} \over (n-k+1)!}\right)^{j_{n-k+1}},$

where the sum is taken over all sequences j₁, j₂, j₃, ..., j_n−k+1 of non-negative integers such that

$j_{1}+j_{2}+\cdots +j_{n-k+1}=k\quad {\mbox{and}}\quad j_{1}+2j_{2}+3j_{3}+\cdots +(n-k+1)j_{n-k+1}=n.$