Impulsantwoord

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen

Het impulsantwoord of de impulsrespons is een belangrijke karakteristiek van lineaire, tijdsinvariante systemen (zie LTC-systeem) in de wiskundige systeemtheorie en in de regeltechniek. Het impulsantwoord is gedefinieerd als het uitgangssignaal (het antwoord) van het systeem S op een aan de ingang aangelegd impulsvormig signaal, idealiter een diracdelta, .

In werkelijkheid kan men natuurlijk slechts een benadering van zo'n ingangssignaal aanleggen en daarmee een benadering van de impulsrespons verkrijgen. Ook zou in een elektronische schakeling zelfs een benadering van een delta-impuls een zeer grote spanning of stroom aan de ingang vergen. Daarom bepaalt men wel de zogehten staprespons, de uitgangswaarde als aan de ingang de een stapfunctie is aangelegd. Dat houdt in dat op de ingang van 0 naar 1 wordt geschakeld.

Staprespons[bewerken | bron bewerken]

Aangezien de dirac-delta de afgeleide is van de stapfunctie, is de impulsrespons de afgeleide van de staprespons. Immers, met de stapfunctie, is de staprespons:

Dus is

Convolutie[bewerken | bron bewerken]

Systeem regeltechniek.png

Wordt aan de ingang van een lineair tijdsinvariant systeem S een signaal aangelegd, dan zal aan de uitgang het signaal verschijnen, dat de convolutie is van met de impulsrespons . Immers voor een dergelijk systeem kan men - enigszins slordig - schrijven:

(vanwege de lineariteit)

Ook voor discrete lineaire, tijdsinvariante systemen geldt een dergelijke verband. Voor de output bij ingangssignaal kunnen we schrijven:

Voorbeeld 1[bewerken | bron bewerken]

Het systeem gedefinieerd door de differentievergelijking:

,

zal op de ingangimpuls, waarvoor dus en voor andere , reageren met een uitgangssignaal:

De impulsrespons is dus:

Voor een willekeurig ingangssignaal is het uitgangssignaal (de oplossing van de differentievergelijking):

Voorbeeld 2[bewerken | bron bewerken]

De impulsrespons van een integrator is de stapfunctie . De integrator is de integraal tot het moment , dus voor de impuls:

Voorbeeld 3[bewerken | bron bewerken]

Eenvoudig laagdoorlaatfilter

Een eenvoudig laagdoorlaatfilter bestaat uit de serieschakeling van een weerstand en een condensator . Op de ingang staat de spanning en de uitgangsspanning is de spanning over de condensator. Het systeem wordt beschreven door de lineaire eerste-ordedifferentiaalvergelijking

Daarin is de zogeheten RC-tijd.

Legt men op een constante spanning ter grootte aan de ingang, terwijl C ongeladen is, dan is:

De staprepons is dus

Voor de impulsrespons volgt dan voor :

,

dus