Jasper ter Heide speelde in de jeugd van SVA Assendelft, ADO '20, AZ en AFC Ajax. In het seizoen 2017/18 maakte hij een paar keer deel uit van de selectie van Jong Ajax, maar kwam in dit seizoen niet in actie. Hij debuteerde voor Jong Ajax in de eerste wedstrijd van het seizoen 2018/19, de met 2-1 verloren uitwedstrijd tegen Roda JC Kerkrade op 17 augustus 2018. Hij kwam in de 63e minuut in het veld voor Dani de Wit.