Liouville-functie

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

De Liouville-functie, aangeduid met λ(n) en vernoemd naar de Franse wiskundige Joseph Liouville, is een belangrijke functie in de getaltheorie .

Als n een positief geheel getal is, dan wordt λ(n) gedefinieerd als:

waar Ω(n) het aantal priemfactoren van n is, geteld door gebruik te maken van(rij[1]). Per definitie is λ(1)=1.

Meervoudige factoren worden in Ω(n) ook meervoudig geteld; bijvoorbeeld: Ω(12) is 3, want 12 = 2x2x3 en de priemdeler 2 wordt tweemaal geteld. Dus is de waarde van de Liouville-functie van 12 gelijk aan (-1)3 = -1. Ω(13)=1 omdat 13 een priemgetal is, en dus is λ(13)= -1, zoals voor alle priemgetallen overigens.

λ(n) is gelijk aan -1 als n een oneven aantal priemdelers (meervoudig geteld) heeft; λ(n) = 1 als n een even aantal priemdelers heeft.

Verband met de Riemann-zèta-functie[bewerken]

De Riemann-zèta-functie ζ(s), waarin s een complex getal is met reëel deel > 1, wordt gedefinieerd als:

Hieruit volgt de volgende gelijkheid:

Sommering[bewerken]

Grafiek van L(n) tot 107. In dit gebied is het vermoeden van Pólya nog geldig.

Stel: Dit is dus de som van de waarden van de Liouville-functie van 1 tot en met n.

L(n) geeft het verschil aan tussen het aantal getallen van 1 tot en met n met een even aantal priemdelers en het aantal met een oneven aantal priemdelers.

George Pólya formuleerde in 1919 het vermoeden, dat L(n) ≤ 0 voor alle n ≥ 2.[2] Dit vermoeden is later echter ontkracht; C.B. Haselgrove bewees in 1958 dat er oneindig veel gehele getallen x zijn waarvoor L(x) > 0 is.[3] Het kleinste getal waarvoor het vermoeden van Pólya niet geldt, blijkt 906150257 te zijn.[4]

L kan zeer grote negatieve en positieve waarden aannemen; zo berekenden Borwein, Ferguson en Mossinghoff met een computercluster van dual-core PowerMac G5s dat L(176064978093269) = -17555181 en L(351753358289465)=1160327.[5] Het is echter nog een open vraag, of L(n) al dan niet een oneindig aantal malen van teken verandert.

Een verwante som is

Hiervan werd aanvankelijk vermoed, dat M(n) vanaf een voldoend grote n, steeds positief is. Als dat waar zou zijn, zou hieruit de Riemann-hypothese volgen. Maar in 1958 bewees Haselgrove, dat er oneindig veel getallen zijn waarvoor M(n) negatief is.[3]