Liouville-functie

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

De Liouville-functie, aangeduid met λ(n) en vernoemd naar de Franse wiskundige Joseph Liouville, is een belangrijke functie in de getaltheorie .

Als n een positief geheel getal is, dan wordt λ(n) gedefinieerd als:

,

waar Ω(n) het aantal priemfactoren van n is, geteld door gebruik te maken van(rij[1]). Per definitie is λ(1)=1.

Meervoudige factoren worden in Ω(n) ook meervoudig geteld; bijvoorbeeld: Ω(12) is 3, want 12 = 2×2x3 en de priemdeler 2 wordt tweemaal geteld. Dus is de waarde van de Liouville-functie van 12 gelijk aan (−1)3 = −1. Ω(13)=1 omdat 13 een priemgetal is, en dus is λ(13)= −1, zoals voor alle priemgetallen overigens.

λ(n) is gelijk aan −1 als n een oneven aantal priemdelers (meervoudig geteld) heeft; λ(n) = 1 als n een even aantal priemdelers heeft.

Verband met de Riemann-zèta-functie[bewerken]

De Riemann-zèta-functie ζ(s), waarin s een complex getal is met reëel deel > 1, wordt gedefinieerd als:

Hieruit volgt de volgende gelijkheid:

.

Sommering[bewerken]

Grafiek van L(n) tot 107. In dit gebied is het vermoeden van Pólya nog geldig.

Stel: . Dit is dus de som van de waarden van de Liouville-functie van 1 tot en met n.

L(n) geeft het verschil aan tussen het aantal getallen van 1 tot en met n met een even aantal priemdelers en het aantal met een oneven aantal priemdelers.

George Pólya formuleerde in 1919 het vermoeden, dat L(n) ≤ 0 voor alle n ≥ 2.[2] Dit vermoeden is later echter ontkracht; C.B. Haselgrove bewees in 1958 dat er oneindig veel gehele getallen x zijn waarvoor L(x) > 0 is.[3] Het kleinste getal waarvoor het vermoeden van Pólya niet geldt, blijkt 906150257 te zijn.[4]

L kan zeer grote negatieve en positieve waarden aannemen; zo berekenden Borwein, Ferguson en Mossinghoff met een computercluster van dual-core PowerMac G5s dat L(176064978093269) = −17555181 en L(351753358289465)=1160327.[5] Het is echter nog een open vraag, of L(n) al dan niet een oneindig aantal malen van teken verandert.

Een verwante som is

.

Hiervan werd aanvankelijk vermoed, dat M(n) vanaf een voldoend grote n, steeds positief is. Als dat waar zou zijn, zou hieruit de Riemann-hypothese volgen. Maar in 1958 bewees Haselgrove, dat er oneindig veel getallen zijn waarvoor M(n) negatief is.[3]