Lokaal convexe topologische vectorruimte

In de functionaalanalyse, een deelgebied van de wiskunde, onderscheidt men bepaalde topologische vectorruimten waarvoor er een voldoende groot aantal continue lineaire functionalen (afbeeldingen naar het onderliggende scalairenlichaam) bestaan.

Definitie

Een topologische vectorruimte heet lokaal convex als de nulvector (en dus elke andere vector) over een lokale basis beschikt die uit convexe verzamelingen bestaat.

Motivering

Het belang van lokale convexiteit ligt erin dat ze het bestaan van bepaalde continue lineaire functionalen garandeert. Zo geldt bijvoorbeeld dat voor een lokaal convexe topologische vectorruimte $X$ de elementen van de topologisch duale vectorruimte $X^{*}$ de punten scheiden:

$\forall x,y\in X,x\neq y:\exists \lambda \in X^{*},\lambda (x)\neq \lambda (y).$

Voorbeelden

Elke genormeerde vectorruimte is lokaal convex omdat de open bollen (bijvoorbeeld rond de nulvector) convexe verzamelingen zijn:

$\forall x,y\in X,r>0,t\in [0,1]:\|x\|<r\wedge \|y\|<r\implies \|tx+(1-t)y\|\leq t\|x\|+(1-t)\|y\|<r.$

Een lokaal convexe ruimte waarvan de topologie afkomstig is van een volledige translatie-invariante metriek heet Fréchet-ruimte.

De $L^{p}$-ruimte $L^{p}[0,1]$ voor $0<p<1$ is niet lokaal convex en heeft zelfs geen enkele continue lineaire functionaal (behalve de constante 0).

Seminormen

Lokale convexiteit kan ook worden gekarakteriseerd in termen van seminormen; meer bepaald:

Een topologische vectorruimte $X$ is lokaal convex als en slechts als haar topologie de initiale topologie is voor een familie seminormen op $X.$

Bronnen, noten en/of referenties