Storari begon met voetballen in zijn geboortestad Pisa, bij Perugia Calcio en Montevarchi. Zijn profdebuut maakte hij bij AC Ancona, in de Serie C. Na twee seizoenen bij Ancona vertrok Storari naar SSC Napoli waar hij weinig aan spelen toekwam. Van 2003 tot 2007 speelde hij voor ACR Messina, waar hij als basisspeler promotie naar de Serie A mee afdwong en daarin eerste keus bleef.
Op 23 juni2010 nam Juventus FC Storari over van Milan voor een bedrag van 4,5 miljoen euro.[1] Hier fungeerde hij vijf jaar als reservekeeper achter Gianluigi Buffon. Storari werd van 2012 tot en met 2015 vier keer achter elkaar landskampioen met Juventus, waaraan hij zelf in drie, zes, zes en vijf competitiewedstrijden bijdroeg.