Overleg:Getal van Graham

Het lekenverhaal

Heeft iemand het in zich om het hele verhaal samen te vatten in een kopje voor 'leken'? Wikipedia is tenslotte een vrije encyclopedie voor iedereen, niet alleen voor degenen die een master in wiskunde gehaalt hebben. GenGF 4 feb 2009 10:19 (CET)

Nou, de uitleg is als je het mij vraagt al zo simpel mogelijk. Persoonlijk zou ik niet weten hoe het nog simpeler te vertellen is zonder de waarheid geweld aan te doen. Sommige dingen kun je nou eenmaal niet uitleggen in enkel woorden van maximaal vijf letters en zinnen korter dan tien woorden (dat is niet bedoeld als een kwalificatie richting jou) Lexw 4 feb 2009 12:11 (CET)

De getal van Graham

Hoe groot is dan zo'n getal?

En wat is de macht van de getal van Graham? Galius 26 mrt 2006 12:55 (CET)

Galius, lees even met aandacht het artikel. Het getal van Graham is niet in machten uit te drukken. Daarvoor is het eenvoudigweg te groot. Het is het 64e getal in een reeksontwikkeling (G₆₄):

${\begin{matrix}G_{0}&=&4\end{matrix}}$

${\begin{matrix}G_{1}&=&3\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3=3^{3^{3^{3^{3}}}}=3^{3^{7625597484987}}\end{matrix}}$

G₁ is al zo groot dat hij niet meer met 1 enkele exponent (macht) is te schrijven. Laat nu even goed de verhouding tussen G₀ en G₁ tot je doordringen. Stel je dan voor dat je deze verhouding nog 63 keer toepast. Dan heb je G₆₄ ofwel het getal van Graham te pakken. Dat is dus op geen enkele ander manier te schrijven dan als G₆₄ . Het getal van Graham gaat ieder menselijk begrip verre te boven. "De macht van het getal van Graham" is een volstrekt betekenisloze frase. Als je dat niet begrijpt, begrijp je het artikel niet.

Lexw 26 mrt 2006 16:49 (CEST)

In feite is het getal van Graham ook een betekenisloze frase. Mensen rekenen niet met machten van drie. En ook niet met meetkundige rijen, omdat die te snel aangroeien. En dit is heel veel erger dan een meetkundige rij. Het getal van Graham is niet alleen onvoorstelbaar groot omdat je je bij de grootte ervan niets kunt voorstellen; je kunt je de grootte niet eens voorstellen. Floris V 1 apr 2006 11:19 (CEST)

Galius, lees eerst eens Knuths pijlomhoognotatie, en laat dat een paar dagen op je inwerken. Kom daarna weer terug naar dit artikel. Bob.v.R 1 apr 2006 11:33 (CEST)

Foutje

Het is zelfs nog erger dan ik schreef. Ik schreef hierboven (en ook in het artikel) namelijk

${\begin{matrix}G_{1}&=&3\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3=3^{3^{3^{3^{3}}}}=3^{3^{7625597484987}}\end{matrix}}$

en dat klopt niet. Wat wel klopt is

${\begin{matrix}3\uparrow \uparrow \uparrow 3&=&3\ \underbrace {\ ^{3^{3^{3^{\cdots ^{3}}}}}} \ \\&&{7625597484987}\end{matrix}}$ ofwel het grondtal 3, en dat 7.625.597.484.987 maal verheven tot de macht 3

En dat is dus nog "een tikkeltje" groter dan in het bovenste voorbeeld... Ik heb het artikel inmiddels verbeterd. Enne, Floris: zelfs het getal hierboven, wat nog gigantisch veel kleiner is dan G₁, is voor mensen al niet meer voor te stellen, laat staan G₁ zelf. Over de voorstelbaarheid van het Getal van Graham zullen we dus maar zwijgen. Lexw 1 apr 2006 22:21 (CEST)

Dat is wel wat, ik krijg haast koppijn van die notatie. Maar je bevestigt alleen maar wat ik bedoelde. Ik heb me weer eens te cryptisch uitgedrukt. Ik wilde zeggen: de meeste mensen kunnen zich niets voorstellen bij wat een miljard euro/dollar is. Bij een getal met 100 cijfers kan geen mens zich nog voorstellen wat dat betekent, maar je hebt dan in elk geval een indruk van de grootte. Bij $\ 3\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3$ kun je niet eens meer inzichtelijk noteren hoe groot het getal eigenlijk is, laat staan voor het getal van Graham. Floris V 2 apr 2006 00:03 (CEST)

Poe poe mannen, inderdaad is zelfs G₁ wel supergroot te noemen. Ik heb ook nog even gekeken, en ik denk dat G₁ nog vele malen groter is dan Lexw nu in het artikel suggereert! Immers, laten we $3\uparrow \uparrow \uparrow 3$ voor het gemak even F noemen.

Dan geldt: G₁ = $3\uparrow \uparrow \uparrow 3\uparrow \uparrow \uparrow 3=3\uparrow \uparrow \uparrow F$

En dat is gelijk aan $3\uparrow \uparrow 3\uparrow \uparrow 3\uparrow \uparrow ...\uparrow \uparrow 3$ waarbij we hier F keer een 3 genoteerd hebben. Wat nu op de pagina staat is dacht ik wat we hebben als er steeds een enkele 'uparrow' had gestaan. Echter, het zijn dubbele uparrows!! Groeten, en wees voorzichtig in het verkeer. :-) Bob.v.R 2 apr 2006 00:31 (CEST)

Eerlijk gezegd vind ik de uitleg bij de driedubbele pijl omhoog al niet meer te volgen. Een duidelijker voorbeeld zou daar wel helpen. Maar zelfs als de uitleg duidelijk is, is G1 inderdaad al zo mind-boggling dat het wat bespottelijk aandoet om noeg over G64 te beginnen. Misschoien moet er een bijsluiter bij het artikel met de waarschuwing: Lezing van dit artikel kan uw rijvaardigheid beïnvloeden. Floris V 2 apr 2006 01:06 (CEST)

A driedubbele pijl B is: B keer een A met steeds een dubbele pijl ertussen. En als je dat dan uitwerkt komt Lex hierboven op de overlegpagina uit bij :${\begin{matrix}3\uparrow \uparrow \uparrow 3&=3\uparrow \uparrow (3\uparrow \uparrow 3)=&3\ \underbrace {\ ^{3^{3^{3^{\cdots ^{3}}}}}} \ \\&&{7625597484987}\end{matrix}}$

echter volgens mij moet dat in feite zijn (klein notatie-puntje):

${\begin{matrix}3\uparrow \uparrow \uparrow 3&=&\underbrace {\ 3^{3^{3^{3^{\cdots ^{3}}}}}} \ \\&&{7625597484987}\end{matrix}}$

Maar dat staat nog weer geheel los van de meer fundamentele fout die ik hierboven heb aangekaart. Bob.v.R 2 apr 2006 01:26 (CEST)

Dat notatie-puntje heb ik me bij het schrijven wel afgevraagd, Bob. Maar ik kwam toch tot de conclusie dat het was zoals ik schreef. Alleen ben ik er niet helemaal zeker van. Als jij zeker weet dat hetgeen jij schreef correct is, prima. Dan leg ik me daar bij neer. Want inderdaad: hoe langer ik erover nadenk, hoe meer koppijn ik ervan krijg. En eigenlijk heeft Floris in zijn commentaat (hieronder) ook wel gelijk: het maakt eigenlijk geen bal uit, behalve misschien voor theoretische wiskundigen. Het is dermate groot dat elke praktische betekenis verloren gaat. Lexw 4 apr 2006 20:36 (CEST)

Volgens mij volgt het uit het artikel Knuths pijlomhoognotatie; daar zie ik staan dat

$3\uparrow \uparrow \uparrow 3=3\uparrow \uparrow 3\uparrow \uparrow 3=3\uparrow \uparrow (3\uparrow 3\uparrow 3)$

${\begin{matrix}=&\underbrace {3_{}\uparrow 3\uparrow \dots \uparrow 3} \\&3\uparrow 3\uparrow 3\ \mathrm {kopie{\ddot {e}}n\ van} \ 3\end{matrix}}$

${\begin{matrix}=&\underbrace {3_{}\uparrow 3\uparrow \dots \uparrow 3} \\&\mathrm {7.625.597.484.987\ kopie{\ddot {e}}n\ van\ 3} \end{matrix}}$

Veel fundamenteler is overigens de correctie die ik heb genoemd in mijn bijdrage 'poe poe mannen'. Ook deze heb ik inmiddels in het artikel verwerkt.

Groeten, Bob.v.R 4 apr 2006 23:45 (CEST)

Het zal wel, Bob. Ik ben inmiddels aangeland op het punt dat ik denk het zal me worst wezen. Floris had dat kennelijk ook al. Ik weet wel dat een encyclopedie correctheid moet nastreven, maar ik zeg nogmaals dat in dit specifieke geval correctheid hooguit interessant is voor theoretische wiskundigen. De gemiddelde wikipedia-bezoeker snapt het toch al niet. Ik ook niet (meer), geloof ik.... ;-) Lexw 5 apr 2006 12:16 (CEST)

Goed, de 'i don't care' positie voor dit fenomeen hebben jullie me inmiddels voldoende duidelijk gemaakt. Inmiddels begint het allemaal steeds meer te kloppen, en dat is ook niet onbelangrijk, want de informatie moet wel correct zijn uiteraard. Daarnaast heb ik toch ook wel respect voor de lieden die dit soort constructies hebben uitgevonden en uitgewerkt. Bob.v.R 5 apr 2006 15:12 (CEST)

Raar is dat; bij allerlei artikelen zit ik te sleutelen om het beter te maken, ook al weet ik dat het onvolmaakt blijft, en bij dit ontmoedigend grote getal denk ik iets in de trant van "Who cares?" Floris V 2 apr 2006 13:24 (CEST)

Goedenavond Lexw, ik zie dat je er weer bent. In de tussentijd heb ik de toelichting in het artikel gecorrigeerd conform mijn opmerkingen hierboven. Groet, Bob.v.R 4 apr 2006 23:25 (CEST)

Dat had ik al gezien. Ik moet je eerlijk zeggen dat ik me nogmaals blind heb zitten staren op dat artikel, en er nog steeds niet helemaal zeker van ben welke van de twee interpretaties nu goed is, de jouwe of de mijne. Maar, zoals Floris al aangaf: what the heck! . G₁ is GROOT. Hoe groot? Who cares... Lexw 4 apr 2006 23:34 (CEST)

G₁ is supergroot. Toch ook wel interessant! En het ergste is nog dat bij G₂ het aantal omhoogpijltjes gelijk is aan G₁. Bob.v.R 4 apr 2006 23:45 (CEST)

Om nog maar te zwijgen over G₆₄, waar het artikel feitelijk om gaat. Hou op zeg... Lexw 5 apr 2006 12:16 (CEST)

Te weinig / te veel

Googolplex verhoudt zich tot het getal van Graham ongeveer als een stofje tot het totale universum

Is deze bewering dichterlijke vrijheid of stoelt het op een echte berekening? Als de verhouding klopt, kom ik op een orde van grote voor het getal van Graham van $10^{10^{100}+91}$ . Ziet er bescheiden uit.

Inderdaad, dat is nog te zwak uitgedrukt. Bob.v.R 5 apr 2006 17:26 (CEST)

Dit was inderdaad een dichterlijke vrijheid. Merk op dat er ook nog een woord "ongeveer" in staat, dus het is niet bedoeld als een exacte verhouding. Feitelijk ook niet als een geschatte verhouding dus, maar meer als beeldspraak. Lexw 5 apr 2006 21:52 (CEST)

De essentie van het getal is nu juist dat het zich *niet* laat uitdrukken als een bepaalde orde groter dan een getal dat je met wat machten kunt noteren. De beeldspraak is dus misleidend - en ook niet te herkennen als als beeldspraak. (Op de discussiepagina van het Engelse artikel onder "Number of digits" wordt een interessante poging gedaan om aan te geven hoe groot het getal is.) Ik stel voor deze zin te schrappen.

Overigens klopt ook het begin van de zin ervoor niet: Het getal van Graham is zo onmetelijk groot... Het gaat om een dimensieloos getal, dus er valt niets aan te meten. onmetelijk schrappen, zou ik zeggen. China Crisis 6 apr 2006 09:44 (CEST)

ontelbare malen groter dan bijvoorbeeld googolplexian

Aangezien beide getallen eindig zijn moet de verhouding ook eindig zijn, dus dit lijkt me onzin. China Crisis 5 apr 2006 17:17 (CEST)

Okay, dit is dus juist weer te sterk uitgedrukt. Bob.v.R 5 apr 2006 17:26 (CEST)

Nee, dit is geen onzin, dit is correct uitgedrukt. Er staat ontelbaar, niet oneindig. En dat heb ik zeer bewust gedaan. Het is inderdaad ontelbare malen groter dan googolplexian. Ik ga er vanuit dat voor een normaal mens ieder getal boven - zeg - een triljard of daaromtrent ontelbaar is. De meeste mensen kunnen zich daar al weinig meer bij voorstellen. Voor computers zou je nog een paar factoren omhoog kunnen gaan, maar ik blijf erbij dat F, zoals Bob dat getal symbolisch heeft genoemd, ontelbare malen groter is dan googolplexian. Lexw 5 apr 2006 21:52 (CEST)

Okay, helder betoog Lexw, ik kan me daar wel in vinden! Bob.v.R 6 apr 2006 02:06 (CEST)

Akkoord, ontelbaar is niet oneindig. Maar wat zegt deze zin dan? Googolplexian is al ontelbaar, maar dat is een triljard ook al, zeg je. Aan "ontelbaar keer groter" voldoet dan al een miezerige triljard² = 10⁴². Ik stel voor deze zin te vervangen door: "Dit is al een getal dat het menselijke bevattingsvermogen verre te boven gaat. Ter vergelijking: googelplexian is nog geen $10\uparrow \uparrow 5$ ." China Crisis 6 apr 2006 09:44 (CEST)

Niet akkoord. De vergelijking met googolplexian wil ik graag laten staan, omdat veel mensen denken dat dat wel zo ongeveer het grootste getal is wat ooit is gedefinieerd. Maar ik ben ertegen om dan (in deze context tenminste, want op de pagina van googolplexian mag het gerust blijven staan) ter verduidelijking googolplexian te gaan omschrijven als kleiner dan $10\uparrow \uparrow 5$. Waarom? Omdat je dan appels met peren gaat vergelijken. De reeksontwikkeling waarover we het hier hebben gebruikt 3 als grondtal, terwijl in dat voorbeeld van googolplexian 10 als grondtal wordt gebruikt. Even snel omrekenen naar een ander grondtal gaat niet in de up-arrow notatie. Dus het zou mijns inziens alleen maar verwarrend werken. En wat is er nou tegen de zin zoals die er nu staat? Het is toch ontelbare malen groter dan googolplexian? Het lijkt erop dat jij het kennelijk toch in één of andere maat wilt vangen, maar dat is onmogelijk... Lexw 6 apr 2006 12:30 (CEST)

Verschillende grondtallen is inderdaad niet verstandig. Ik heb juist het gevoel dat jij het in een of andere maat wilt vangen door te vergelijken met googelplexian. Nou ja, laat maar zo dan. Bij gebrek aan reactie op mijn andere punt heb ik die voorgestelde wijzigingen doorgevoerd. China Crisis 8 apr 2006 13:45 (CEST)

Ik blijf de uitdrukking ontelbare malen ongelukkig vinden. Het is niet 'ontelbaar', want als je maar lang genoeg doortelt kom je er vanzelf wel. Dat het niet praktisch is om dat te doen, voor mensen of computers, is een hele andere zaak. De niet-rationale getallen, ja, die zijn ontelbaar. Maar G64 is een gewoon natuurlijk getal. Modallist 6 apr 2009 14:18 (CEST)

Ik heb een beetje moeite met de zinsnede: Ontwikkel de reeks in de pijlomhoognotatie vervolgens nog 63 maal. Dan heb je het Getal van Graham.

Als G64 inderdaad

${\begin{matrix}&3\ \underbrace {\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow \cdots \uparrow } \ 3\\&{G_{(63)}}\end{matrix}}$

is, dan betekent dat dus NIET 63 pijlomhoog notaties, maar G63 pijlomhoognotaties. Iets wat nog VEEL erger (lees: groter) is als 63 pijlnotaties. Je moet dus de pijlnotatie niet nog 63 keer ontwikkelen, maar nog G63 keer.....

Ik ben het helemaal met je eens, Bazkar. Het was mij ook al eens opgevallen, ik heb het alleen stilzwijgend laten staan, omdat ik het niet zo belangrijk vond. Die alinea is alleen bedoeld om aan te geven hoe verschrikkelijk onvoorstelbaar groot het Getal van Graham wel is, en of je die pijomhoognotatie nou 63 keer doorvoert of G(63) keer, dat maakt in mijn ogen voor het voorbeeld weinig meer uit. Maar strikt gesproken heb je gelijk. Dus pas het aan, zou ik zeggen. Groet, Lexw 2 jun 2006 20:41 (CEST) P.S. Ondertekenen van stukjes op overlegpagina's kan met 4 tildes, dus zo: ~~~~

Collega's, ik heb de door jullie besproken opmerking zojuist gewijzigd. Groet, Bob.v.R 8 jun 2006 00:40 (CEST)

elementaire getaltheorie?

Is de getaltheorie die gebruikt wordt om de staart van dit getal te berekenen echt elementair? Bedoelen we met elementair dat bijvoorbeeld een bachelor- of masterdiploma in Wiskunde genoeg is om de afleiding te kunnen begrijpen of zelfs uitvoeren?? – De voorgaande bijdrage werd geplaatst door 80.114.143.165 (overleg · bijdragen) 4 jul 2018 23:57‎ (CEST)

Blijkbaar heb je niet op de link getaltheorie geklikt, want daar wordt uitgelegd waar dat "elementaire" op slaat. –bdijkstra (overleg) 5 jul 2018 08:38 (CEST)