Overleg:Keten (wiskunde)

Ik stel voor dit lemma "Keten (wiskunde}" te noemen en eerst dit begrip bespreken. Vervolgens kunnen dan bijzondere ketens aan de orde komen. Madyno (overleg) 5 jul 2015 14:12 (CEST)

Dat is inderdaad logischer. Bob.v.R (overleg) 5 jul 2015 16:43 (CEST)

Complement

Complement R' van R: $aR'b\Leftrightarrow niet\ aRb;a>b\Leftrightarrow niet\ a\leq b$Madyno (overleg) 5 jul 2015 14:53 (CEST)

Nee, $a>b\Leftrightarrow niet\ a\leq b$ geldt alleen voor totale ordeningen. Hier gaat het om een partiële ordening. Neem als voorbeeld de verzameling $\{a,b,c\}$ en de partiële ordening ${\leq }=\{(a,a),(b,b),(c,c),(a,b),(a,c)\}$, kortom er geldt $a\leq b$ en $a\leq c$, maar niet $b\leq c$ of $c\leq b$. Het complement van van $\leq$ is $\{(b,a),(c,a),(b,c),(c,b)\}$, maar de bedoelde relatie is ${>}=\{(b,a),(c,a)\}$. Hoopje (overleg) 5 jul 2015 18:21 (CEST)

OK. Madyno (overleg) 5 jul 2015 18:47 (CEST)

Preorde

Wij gebruiken steeds preorde voor quasi-orde, en een well-quasi-ordering is een welgefundeerde preorde. Madyno (overleg) 5 jul 2015 14:57 (CEST)

Elke wel-quasi-ordening (wqo) is een welgefundeerde pre-orde, ja, maar andersom is niet het geval. Bij een wqo is het ook het geval dat er geen oneindige anti-ketens bestaan. Of het nou wel-pre-orde of wel-quasi-orde heet is mij in principe om het even (hoewel ik wel een voorkeur voor wel-quasi-orde heb), maar het is in ieder geval niet hetzelfde als een welgefundeerde pre-orde. Hoopje (overleg) 5 jul 2015 18:27 (CEST)

Engelse W.: a well-quasi-ordering or wqo is a quasi-ordering (= preorder) that is well-founded. Madyno (overleg) 5 jul 2015 18:55 (CEST)

Dat staat daar inderdaad, maar het is fout. Het is ook niet equivalent met wat er in de tweede helft van de zin staat (na meaning that). Er zijn twee redenen dat er kan gelden dat $x\not \leq y$: ofwel omdat $x>y$ ofwel omdat $x$ en $y$ helemaal niet in relatie staan. Bij een welgefundeerde pre-orde bestaan er geen oneindige aflopende ketens, maar er mogen wel oneindige ketens van elementen die helemaal niet in relatie staan bestaan. Bij wqo's mogen die laatste ook niet bestaan. Onder Formal Definition staat het in de Engelse WP goed. Hoopje (overleg) 5 jul 2015 19:55 (CEST)

Een keten is een totaal geordende deelverzameling, dus elk tweetal is vergelijkbaar. Madyno (overleg) 5 jul 2015 23:14 (CEST)

Een keten is een totaal geordende deelverzameling van een partieel geordende verzameling. En het gaat in die paragraaf over de orde op die partieel geordende verzameling. Die ketens zijn slechts een instrument om te onderzoeken of die welgefundeerd is. Hoopje (overleg) 5 jul 2015 23:20 (CEST)