Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
In de wiskunde is de reeks van Mercator of de Newton-Mercatorreeks de taylorreeks voor de natuurlijke logaritme van
1
+
x
{\displaystyle 1+x}
−
1
<
x
≤
1
{\displaystyle -1<x\leq 1}
ln
(
1
+
x
)
=
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
+
1
n
x
n
=
x
−
1
2
x
2
+
1
3
x
3
−
1
4
x
4
+
…
{\displaystyle \ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}=x-{\tfrac {1}{2}}x^{2}+{\tfrac {1}{3}}x^{3}-{\tfrac {1}{4}}x^{4}+\ldots }
De reeks volgt eenvoudig uit de afgeleide van de natuurlijke logaritme:
d
d
x
ln
x
=
1
x
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\ln x={\frac {1}{x}}}
De reeks werd onafhankelijk van elkaar ontdekt door zowel Nikolaus Mercator , Isaac Newton en Gregorius van St-Vincent . Hij werd voor het eerst gepubliceerd door Mercator in 1668 in het traktaat Logarithmo-technica .
Omdat
d
d
t
ln
(
1
+
t
)
=
1
1
+
t
=
1
−
t
+
t
2
−
…
+
(
−
t
)
n
−
1
+
…
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\ln(1+t)={\frac {1}{1+t}}=1-t+t^{2}-\ldots +(-t)^{n-1}+\ldots }
volgt voor de mercatorreeks
ln
(
1
+
x
)
=
∫
0
x
d
t
1
+
t
=
∫
0
x
(
1
−
t
+
t
2
−
…
+
(
−
t
)
n
−
1
+
…
)
d
t
{\displaystyle \ln(1+x)=\int _{0}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{1+t}}=\int _{0}^{x}\left(1-t+t^{2}-\ldots +(-t)^{n-1}+\ldots \right)\,\mathrm {d} t}
