Reguliere maat
In de maattheorie, een deelgebied van de wiskunde, is een reguliere maat op een topologische ruimte een maat die zowel inwendig regulier is als uitwendig regulier. Inwendige regulariteit houdt in dat elke meetbare verzameling van binnen uit benaderd kan worden door compacte meetbare deelverzamelingen, en uitwendige regulariteit dat elke meetbare verzameling van buiten af benaderd kan worden door open meetbare verzamelingen die de verzameling omvatten.
Definitie[bewerken | brontekst bewerken]
Laat een topologische ruimte zijn en een σ-algebra op , die de topologie bevat (waardoor alle open en gesloten verzamelingen meetbare verzamelingen zijn, en zodat ten minste zo "fine" is als de Borel-σ-algebra op ). Laat een maat zijn op . Van een meetbare deelverzameling van wordt gezegd dat deze -regulier is als
en
Op gelijkwaardige wijze geldt dat een -reguliere verzameling is dan en slechts dan als voor elke er een gesloten verzameling en een open verzameling bestaan, zodanig dat
en
Als elke meetbare verzameling regelmatig is, dan zegt men dat de maat een reguliere maat is.
Sommige auteurs vereisen dat de verzameling niet alleen gesloten is, maar ook compact.[1]
Voorbeelden[bewerken | brontekst bewerken]
- De lebesgue-maat op de reële lijn is een regelmatige maat: zie de regelmatigheidsstelling voor de lebesgue-maat.
- De triviale maat, die een maat nul toekent aan elke meetbare deelverzameling, is een regelmatige maat.
- Een triviaal voorbeeld van een niet-regelmatige maat is de maat op de reële rechte met de gebruikelijke borel-topologie, die een maat nul toekent aan de lege verzameling en een oneindige positieve maat aan elke niet-lege verzameling.
- Enige borel-kansmaat op enige metrische ruimte is een regelmatige maat.
Voetnoten[bewerken | brontekst bewerken]
- ↑ (en) Dudley, R. M. (1989). Real Analysis and Probability. Chapman & Hall., Sect. 7.1
Referenties[bewerken | brontekst bewerken]
- (en) Billingsley, Patrick (1999). Convergence of Probability Measures. John Wiley & Sons, Inc., New York. ISBN 0-471-19745-9.
- (en) Parthasarathy, K. R. (2005). Probability measures on metric spaces. AMS Chelsea Publishing, Providence, RI, xii+276. ISBN 0-8218-3889-X.
- (en) Dudley, R. M. (1989). Real Analysis and Probability. Chapman & Hall.