Richtingsveld

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Het richtingsveld van dy/dx=x2-x-1, waar de blauwe, rode en turquoise lijnen respectievelijk staan voor (x3/3)-(x2/2)-x+4, (x3/3)-(x2/2)-x en (x3/3)-(x2/2)-x-4.

In de wiskunde is een richtingsveld een grafische weergave van de oplossingen van een eerste-orde differentiaalvergelijking. Een richtingsveld kan worden gemaakt zonder de differentiaalvergelijking analytisch op te lossen en is daarom nuttig. Een richtingsveld kan worden gebruikt om oplossingen kwalitatief te visualiseren of numeriek te benaderen.

Definitie[bewerken]

Gegeven een stelsel van differentiaalvergelijkingen

is het richtingsveld een array van hellingsmarkeringen in de faseruimte (in elk willekeurig aantal dimensies, afhankelijk van het aantal relevante variabelen; bijvoorbeeld, twee in het geval van een eerste-orde lineaire gewone differentiaalvergelijking, zoals in het plaatje rechts te zien is.) Elke hellingsmarkering is gecentreerd op een punt en loopt parallel aan de vector

.

Het aantal, de positie en lengte van de hellingmarkeringen kunnen willekeurig zijn. De posities worden meestal gekozen als voor willekeurige (maar meestal gelijke) en voor alle gehele getallen , die punten binnen de gekozen intervallen produceren. De lengte van de hellingsmarkeringen is meestal geheel uniform en unitair of niet groter dan de kleinste van .

Definitie, onafhankelijk van differentiaalvergelijkingen[bewerken]

In de differentiaalvergelijkingen hierboven zijn alleen de rechterleden van belang voor de bepaling van het richtingsveld; vandaar de volgende, algemenere definitie:[1]

Zij U een open deelverzameling van de n-dimensionale Euclidische ruimte. Een richtingsveld op U is een afbeelding die met elk punt x van U een rechte door x associeert.

Deze definitie omvat het eerdere geval door met ieder punt x in dimensie n+1 de rechte te associëren die door x gaat met richtingsgetallen (1,f1(x),...,fn(x)).

Een integraalkromme van het richtingsveld is een differentieerbare kromme waarvan de raaklijn in ieder punt samenvalt met het richtingsveld in dat punt.

Zie ook[bewerken]

Externe links[bewerken]

Referenties[bewerken]

  • (en) Blanchard, Paul; Devaney, Robert L. en Hall, Glen R. (2002). Differential Equations (2nd ed.). Brooks/Cole: Thompson Learning. ISBN 0-534-38514-1
  1. D.V. Anosov en V.I. Arnold (red.), "Dynamical Systems I: Ordinary Differential Equations and Smooth Dynamical Systems," Encyclopaedia of Mathematical Sciences 1, Springer 1987.