Runge-Kuttamethode

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen

Runge-Kuttamethoden zijn numerieke methoden om differentiaalvergelijkingen met beginvoorwaarde stapsgewijze op te lossen. De methoden zijn genoemd naar de Duitse wiskundigen Carl David Tolmé Runge en Martin Wilhelm Kutta, die ze ontwikkeld en verbeterd hebben.

Runge-Kuttamethoden worden onderscheiden naar het aantal tussenstappen dat gemaakt wordt. De -staps Runge-Kuttamethode bepaalt de waarde van de benaderde oplossing in een volgend punt door middel van tussenstappen, d.w.z. met behulp van tussengelegen punten. Een Runge-Kuttamethode met stapgrootte is van de orde als de lokale afbreekfout van de orde is. Tot de Runge-Kuttamethoden behoren onder meer de methode van Euler, de methode van Heun en de trapezemethode.

Methode[bewerken]

Een benaderde oplossing van het beginvoorwaardeprobleem

met

wordt stapsgewijs, met stapgrootte , bepaald in de vorm van

,

waarin .

Een -staps methode berekent een volgende waarde als

De coëfficiënten bepalen de gebruikte methode. De getallen vormen de tussenstappen, die de waarden zijn van de functie in bepaalde zogeheten knopen:

Daarin zijn en verdere, voor de methode karakteristieke coëfficiënten.

Klassieke Runge-Kuttamethode[bewerken]

De Runge-Kuttamethode van de orde 4, vaak kort RK4 genoemd, is de klassieke methode, waarmee de differentiaalvergelijking

met beginvoorwaarde numeriek wordt opgelost met 4 tussenstappen via:

en

waarin:

Voorbeeld[bewerken]

Beschouw het beginwaardeprobleem met de beginvoorwaarde .

De exacte oplossing is (een cirkel).

Kies .

De startwaarden zijn en .

Dan volgt:

zodat en .

Herhaling van deze procedure levert het deel van de cirkel in het eerste kwadrant.

0,0 1,0
0,1 0,994987426585
0,2 0,979795852198
0,3 0,95393908717
0,4 0,916514893222
0,5 0,866024896597
0,6 0,799998909634
0,7 0,714140165921
0,8 0,599991210485
0,9 0,435832710519
1,0 0,0488018582123

De exacte oplossing zou voor de waarde geven.

De methode is gelijkwaardig met een taylorreeks van 5 termen. Dit wil zeggen, dat halvering van de tijdstap de fout per stap met een factor 32 vermindert. Omdat er dan 2 keer zoveel stappen genomen worden, vermindert de totale fout met een factor 16.

De methode is ook bruikbaar als geen scalair, maar een kolomvector is.

Als niet afhangt van , is de methode gelijkwaardig met de regel van Simpson voor numerieke berekening van een integraal.