Sierpiński-kromme

Sierpiński-krommen zijn een recursief gedefinieerde rij van continue fractale krommen in het gesloten vlak. Zij zijn als eerste geconstrueerd door de Poolse wiskundige Wacław Sierpiński. Een Sierpiński-kromme heeft een oneindige lengte en neemt toch een eindige oppervlakte in.

In de limiet $n\rightarrow \infty$ vullen Sierpiński-krommen het eenheidsvierkant volledig; hun limietkromme, die ook Sierpinski-kromme worden genoemd, is een voorbeeld van een ruimtevullende kromme.

Omdat de Sierpiński-kromme ruimtevullend is, is haar Hausdorff-dimensie (in de limiet $n\rightarrow \infty$) gelijk aan $2$. De Euclidische lengte van $S_{n}$ is

$l_{n}={2 \over 3}(1+{\sqrt {2}})2^{n}-{1 \over 3}(2-{\sqrt {2}}){1 \over 2^{n}}$,

dat wil zeggen dat de Euclidische lengte exponentieel toeneemt met $n$.

De limiet voor $n\rightarrow \infty$ van het door $S_{n}$ ingesloten gebied is gelijk is aan $5/12\,$ van het eenheidsvierkant (in de Euclidische metriek).

Sierpiński-kromme van de eerste orde

Sierpiński-kromme van de orden 1 en 2

Sierpiński-kromme van de orden 1 tot 3

Zie ook

• Hilbert-kromme
• Koch-kromme
• Moore-kromme
• Peano-kromme
• Sierpiński-driehoek