Peano-kromme

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

De Peano-kromme (vernoemd naar de Italiaanse wiskundige Giuseppe Peano) is een ruimtevullende kromme.

De Peano-kromme wordt gedefinieerd als de limiet van een rij van krommen en kan in fasen worden geconstrueerd.

Een voorbeeld van een Peano-kromme in het twee-dimensionale geval is de volgende: Men begint met de onderverdeling van vierkant in negen gelijke vierkanten, die in een S-kromme worden doorlopen. In de volgende stap wordt elk van deze vierkanten opnieuw onderverdeeld in negen vierkanten, die elk wordt weer door de S-kromme wordt doorlopen. De negen S-kromme worden samengeschakeld tot een S-kromme. Dit proces kan eindeloos worden voortgezet. Het plaatje rechts laat de derde fase naar 81 vierkanten zien:

Peano curve shaded.svg

Men kan overigens het enigszins ingewikkelde concept van een limiet van krommen vermijden, en van het begin af aan al steeds meer tussenpunten direct definiëren (in plaats van als limiet). Men kan de geparametriseerde kromme (voor hetzelfde voorbeeld als boven) namelijk ook als volgt beschrijven. De kromme loopt van het punt linksonder naar het punt rechtsboven. Het parameterdomein wordt in 9 gelijke delen verdeeld; het beginpunt (nr. 0), de 8 tussenpunten en het eindpunt (nr. 9), zijn als volgt:

    3         9

2        48

    15        7

0        6

Ieder interval van het parameterdomein wordt ook weer in 9 gelijke delen verdeeld. De 8 tussenpunten worden steeds bepaald volgens hetzelfde schema (ten opzichte van het begin- en eindpunt; het schema wordt daarbij zonodig om de horizontale of verticale middenas gespiegeld of 180 graden gedraaid[1]). Dit proces wordt steeds herhaald. Iedere parameterwaarde is de limiet van een rij parameterwaarden waarvoor de punten op de kromme zo zijn gedefinieerd. Het punt voor zo'n parameterwaarde is de limiet van de rij punten.

Merk op dat het punt linksboven correspondeert met de parameterwaarde gelijk aan het 9-tallige 0,2222.. (dus 1/4) als het interval [0,1] is, en het punt rechtsonder met het 9-tallige 0,6666.. (dus 3/4). Het midden correspondeert met het 9-tallige 0,4444.. (dus 1/2).

De kromme heeft rotatiesymmetrie van orde 2.

Over de lengte van de kromme zou men kunnen zeggen dat die niet gedefinieerd is, maar ook dat die oneindig is. Dit op basis van het feit dat de punten die de kromme achtereenvolgens aandoet een ondergrens van de lengte bepalen, die bij elke verfijningsstap met 3 vermenigvuldigd wordt.

Bronnen, noten en/of referenties
  1. Van 0 naar 1, van 2 naar 3, van 6 naar 7 en van 8 naar 9 is de oriëntatie hetzelfde als in de vorige stap. Van 1 naar 2 en van 7 naar 8 wordt om de verticale middenas gespiegeld. Van 3 naar 4 en van 5 naar 6 wordt om de horizontale middenas gespiegeld. Van 4 naar 5 wordt het schema 180 graden gedraaid.