Eenheidsmatrix

In de lineaire algebra is een eenheidsmatrix een vierkante matrix, waar de hoofddiagonaal uitsluitend uit enen bestaat. Alle elementen die niet op de hoofddiagonaal liggen zijn nul. De eenheidsmatrix staat in de lineaire algebra gelijk aan de identiteitsfunctie. Een eenheidsmatrix wordt genoteerd met het symbool, I.

Definitie

Een eenheidsmatrix, genoteerd als $I$ (van 'identity', identiteit), is een n×n-matrix, waarvoor geldt:

$I_{ii}=1$ en $I_{ij}=0$ voor $i\neq j$

Een andere notatie hiervoor is $I_{ij}=\delta _{ij}\!$, de zogenaamde Kroneckerdelta.

Een eenheidsmatrix is dus een speciaal geval van een diagonaalmatrix en dus ook een symmetrische matrix.

Voorbeelden

Voorbeelden van eenheidsmatrices:

$I_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},\ I_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\ I_{3}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}},\ \cdots ,\ I_{n}={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}$

Bovenstaande matrices zijn achtereenvolgens de 1x1-, 2x2-, 3x3- en NxN-eenheidsmatrix $I_{1}$, $I_{2}$, $I_{3}$ en $I_{N}$.

Basiseigenschappen

Voor elke identiteitsmatrix I gelden de volgende elementaire eigenschappen:

${\begin{aligned}A\cdot I=I\cdot A=A\\I^{2}=I\\I^{-1}=I\\\end{aligned}}$

• de rijen en kolommen zijn eenheidsvectoren