QR-decompositie: verschil tussen versies

Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud

In de regel

Versie van 19 jan 2014 11:41

In de lineaire algebra is een QR-decompositie van een vierkante matrix $A$ een opsplitsing van die matrix in een product

A=QR

van een orthogonale matrix $Q$ en een bovendriehoeksmatrix $R$ . QR-decompositie kan gegeneraliseerd worden voor niet-vierkante matrices, waarbij de bovendriehoeksmatrix geen vierkante matrix is, maar dezelfde afmetingen heeft als $A$ .

QR-decompositie wordt bij de kleinste-kwadratenmethode veel gebruikt voor het oplossen van het stelsel lineaire vergelijkingen. Het is de basis voor het QR-algoritme, een speciaal algoritme voor het eigenwaarde-probleem.

Als de matrix $A$ $n$ lineair onafhankelijke kolommen heeft, vormen de eerste $n$ kolommen van $Q$ een orthonormale basis voor de kolommenruimte van $A$ . In het bijzonder vormen voor $1\leq k\leq n$ de eerste $k$ kolommen van $Q$ een orthonormale basis voor de ruimte die wordt opgespannen door de eerste $k$ kolommen van $A$ .^[1] Als gevolg hiervan is de matrix $R$ een driehoeksmatrix.^[1]

Voetnoten

↑ ^a ^b L. N. Trefethen en D. Bau, Numerical Linear Algebra (SIAM, 1997).

Externe links

Online Matrix Calculator Performs QR decomposition of matrices.
LAPACK users manual gives details of subroutines to calculate the QR decomposition
Mathematica users manual gives details and examples of routines to calculate QR decomposition
ALGLIB includes a partial port of the LAPACK to C++, C#, Delphi, etc.
Eigen::QR Includes C++ implementation of QR decomposition.
Into contains an open source implementation of QR decomposition in C++.

[Trefethen-1] L. N. Trefethen en D. Bau, Numerical Linear Algebra (SIAM, 1997).

[1]

@@ Regel 6: / Regel 6: @@
 QR-decompositie wordt bij de [[kleinste-kwadratenmethode]] veel gebruikt voor het oplossen van het [[stelsel van lineaire vergelijkingen|stelsel lineaire vergelijking]]en. Het is de basis voor het [[QR-algoritme]], een speciaal algoritme voor het [[eigenwaarde]]-probleem.
-Als de matrix <math>A</math> <math>n</math> lineair onafhankelijke [[kolomvector|kolom]]men heeft, vormen de eerste <math>n</math> kolommen van <math>Q</math> een [[orthonormale basis]] voor de [[kolommenruimte]] van <math>A</math>. In het bijzonder vormen voor <math>1\le k \le n</math> de eerste <math>k</math> kolommen van <math>Q</math> een orthonormale basis voor de ruimte die wordt opgespannen door de eerste <math>k</math> kolommen van <math>A</math>.<ref name=Trefethen>{{aut|L. N. Trefethen}} en  {{aut|D. Bau}}, ''Numerical Linear Algebra'' (SIAM, 1997). </ref> Als gevolg hiervan is de matrix <math>R</math> een [[driehoeksmatrix]].<ref name=Trefethen />
+Als de matrix <math>A</math> <math>n</math> lineair onafhankelijke kolommen heeft, vormen de eerste <math>n</math> kolommen van <math>Q</math> een [[orthonormale basis]] voor de [[kolommenruimte]] van <math>A</math>. In het bijzonder vormen voor <math>1\le k \le n</math> de eerste <math>k</math> kolommen van <math>Q</math> een orthonormale basis voor de ruimte die wordt opgespannen door de eerste <math>k</math> kolommen van <math>A</math>.<ref name=Trefethen>{{aut|L. N. Trefethen}} en  {{aut|D. Bau}}, ''Numerical Linear Algebra'' (SIAM, 1997). </ref> Als gevolg hiervan is de matrix <math>R</math> een [[driehoeksmatrix]].<ref name=Trefethen />
 ==Voetnoten==