Kansdichtheid

Een continue stochastische variabele X neemt geen enkele waarde aan met positieve kans. Hier geldt dus:

$Pr(X=x)=0$ voor alle x.

Omdat de verdelingsfunctie $F_{X}$ van een continue stochastische variabele absoluut continu is en dus (bijna overal) differentieerbaar, kunnen we deze vastleggen door z'n afgeleide $f_{X}$, die de kansdichtheid van X genoemd wordt.

$f_{X}(x)={\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}F_{X}(x)$.

De kansdichtheid geeft in zo'n geval een goed beeld hoe de totale kans van 1 verdeeld is over het waardenbereik van de stochastische variabele

Achtergrond

Discrete stochastische variabelen, die hoogstens aftelbaar veel waarden kunnen aannemen, komen in praktische situaties veelvuldig voor. Soms is het gemakkelijker stochastische variabelen toe te laten die overaftelbaar veel waarden kunnen aannemen, bijvoorbeeld alle waarden in een interval. Het is de vraag of zulke variabelen in de praktijk kunnen voorkomen, maar als model en benadering van de werkelijkheid zijn zij zeer praktisch. Een manier om de verdeling van zulke contimue stochastische variabelen vast te leggen is door middel van een functie die de verdeling van de totale kans weergeeft, dus een niet-negatieve functie met totale integraal 1, kansdichtheid genaamd.

Voorbeeld

Een willekeurig getal tussen 0 en 1 wordt voorgesteld als een stochastische X die alle waarden tussen 0 en 1 aannemen kan zonder dat bepaalde waarden voorkeur hebben. We kunnen niet zeggen dat alle waarden even waarschijnlijk zijn, want dat is in een continue verdeling altijd het geval, die kans is namelijk 0. Geen voorkeur wil zeggen dat de kansdichtheid tussen 0 en 1 een constante waarde heeft en omdat er geen waarden buiten het interval (0,1) worden aangenomen is de kansdichtheid daar 0. Zo'n verdeling heet een uniforme verdeling op het interval (0,1) en heeft kansdichtheid:

$f_{X}(x)=1$ voor $x\in (0,1)$ en 0 elders.

Het is belangrijk duidelijk onderscheid te maken tussen kans en kansdichtheid bij continue verdelingen. Om een kans te berekenen moeten we altijd een integraal genomen worden. Bijvoorbeeld de kans dat X een uitkomst kleiner dan 0.5 is:

Pr(X<0.5)= $\int _{0}^{0.5}f(x){\rm {d}}x=\int _{0}^{0.5}1.{\rm {d}}x=0.5$

De kans op een bepaalde uitkomst bijvoorbeeld X= 0.37 is altijd nul, immers:

Pr(X=0.37)= $\int _{0.37}^{0.37}f(x){\rm {d}}x=0$

Een belangrijke eigenschap van de kansdichtheid $f_{X}(x)$ van een continue stochastische variabele X is:
$\int _{-\infty }^{+\infty }f_{X}(x){\rm {d}}x=1$.

Deze eigenschap volgt uit het feit dat de kansverdeling de afgeleide functie is van de cumulatieve kansverdeling. De hier genoemde integraal is gelijk aan $Pr(X\leq +\infty )=1$.