Stelling van Liouville

Volgens de stelling van Liouville is elke begrensde complexe analytische functie constant. Dit betekent: Als voor een holomorfe functie $f$ een reëel getal $M$ bestaat zo dat $|f(z)|\leq M$ voor elke $z\in \mathbb {C}$, dan is $f$ een constante functie.

De stelling van Liouville laat zien wat een sterke eigenschap holomorfe differentieerbaarheid voor een complexe functie is. De stelling kan onder andere worden gebruikt voor een kort elegant bewijs van de hoofdstelling van de algebra. De stelling is vernoemd naar de Franse wiskundige Joseph Liouville (1809-1882).

Bewijs

De functie $f$ kan worden ontwikkeld in een taylorreeks:

$f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}$

De coëfficiënten $a_{k}$ zijn te vinden met een kringintegraal:

${1 \over k!}f^{(k)}(0)=a_{k}={1 \over 2\pi }\oint _{\!\!\!C_{r}}{f(z) \over z^{k+1}}\,\mathrm {d} z$

Hier is $C_{r}$ de cirkel rond 0 met straal $r$. De absolute waarde van de coëfficiënten kunnen afgeschat worden door:

$|a_{k}|\leq {1 \over 2\pi }\oint _{\!\!\!C_{r}}{|f(z)| \over |z|^{k+1}}\,\mathrm {d} z$

Omdat $f$ begrensd is: $|f(z)|\leq M$ voor elke $z$, en $|z|=r$ op $C_{r}$, volgt:

$|a_{k}|\leq {1 \over 2\pi }{M \over r^{k+1}}{2\pi r}={M \over r^{k}}$

Aangezien dit geldt voor elke cirkel $C_{r}$, ongeacht de straal, volgt automatisch dat $a_{k}$ gelijk moet zijn aan 0. De enige uitzondering is $k=0$ ($r^{0}=1$) zodat $a_{0}$ de enige term is die overblijft uit de taylorreeks.

Uitbreiding

Zij $f(z)$ een gehele functie waarvoor geldt dat er een $C>0$ en $R>0$ bestaan waarvoor geldt dat $|f(z)|<C|z|^{p}$ als $|z|>R$, dan volgt daaruit op analoge manier als voorgaande stelling dat:

$f^{(n)}(0)\leq C{n! \over R^{n}}R^{p}$

Zij nu $n>p$ en laat men $R\to \infty$ dan is $f^{(n)}(0)=0$. Waaruit volgt dat de taylorexpansie van $f(z)$ gelijk is aan:

$f(z)=\sum _{k=0}^{p}a_{k}z^{k}$

Met andere woorden de functie $f(z)$ is een polynoom van de graad $p$.