Naar inhoud springen

Tau-getal

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie

In de getaltheorie is een -getal (uitgesproken als "tau-getal"; Eng. refactorable number) een natuurlijk getal dat deelbaar is door het aantal delers van dat getal (inclusief 1 en het getal zelf).[1]

De functie wordt meestal gebruikt om het aantal delers van een getal aan te geven.[2] De definitie kan dan daarmee geformuleerd worden als:

  • Een natuurlijk getal is een -getal, als (waarin het teken “” staat voor “is deelbaar op”).
Voorbeelden
  • De delers van het getal zijn: . Het aantal delers is , en is deelbaar op . Dus is een -getal.
  • Het getal heeft de volgende delers: . Dus: , en . Daarmee is een -getal.
  • De delers van zijn: . Dus , en is niet deelbaar op . Het getal is daarmee geen -getal.

De eerste drieëndertig getallen in de rij met -getallen zijn:[3]

Opmerking. In de wiskundige literatuur komt ook (Eng. divisor sigma 0) voor als functie die het aantal delers van een getal geeft. Dus: .[4]

Eigenschap van de functie

[bewerken | brontekst bewerken]
= .

Is namelijk (met priem), dan is direct duidelijk dat (de delers zijn: ). Is daarbij (met priem), dan is het aantal delers van gelijk aan ; met andere woorden:

Voor een getal dat is ontbonden in priemfactoren, , is dan:

Enkele eigenschappen van -getallen

[bewerken | brontekst bewerken]
  • Als de -getallen relatief priem zijn, dan is ook een -getal.
Bewijs. Dit volgt direct uit het feit dat de functie een multiplicatieve functie is.
  • Alle oneven -getallen zijn kwadraatgetallen (zoals de -getallen en ).
Bewijs. Is een oneven -getal, dan is voor iedere het getal een deler van . Dus is oneven. Met andere woorden voor iedere is even. Met is dan:
  • Er zijn geen vier opeenvolgende -getallen.[5]
  • Het aantal paren -getallen is (wellicht) oneindig groot:[5][6]
  • De natuurlijke dichtheid van de -getallen is gelijk aan .[7]
  • De vergelijking heeft oplossingen.[3]

Cooper en Kennedy definieerden de -getallen in 1990 en toonden aan dat deze getallen een natuurlijke dichtheid nul hebben. In 1999 werden de getallen herontdekt door Colton met behulp van een computerprogramma dat hij had gemaakt om definities in de getaltheorie en de grafentheorie te beoordelen. Hij noemde de getallen “refactorable”.[8] Hoewel computerprogramma’s al eerder bewijzen hadden opgeleverd, was dit een van de eerste keren dat een computerprogramma een nieuw concept ontdekte. Colton bewees onder andere dat er oneindig veel -getallen zijn.

  • Dit artikel of een eerdere versie ervan is een (gedeeltelijke) vertaling van het artikel Refactorable_number op de Engelstalige Wikipedia, dat onder de licentie Creative Commons Naamsvermelding/Gelijk delen valt. Zie de bewerkingsgeschiedenis aldaar.
  • M. Looijen (2015): Over getallen gesproken. Zaltbommel: Van Haren Publishing (VHP), 2e, herziene druk (2016); pag. 344.
  1. De , tau, is de 19e letter in het Griekse alfabet.
  2. Deze functie moet niet verward worden met de Ramanujan--functie.
  3. a b (en) Rij: A033950 - Refactorable numbers. Op: On-Line Encyclopedia of Integer Sequences.
  4. (en) Op Wolfram Alpha wordt bijvoorbeeld met de invoer van " tau(60) " de waarde berekend van .
  5. a b S. Colton (1999): Refactorable Numbers--A Machine Invention. In: Journal of Integer Sequences, vol. 2; art. 99.1.2.
  6. (en) Rij: A115617 – Numbers n such that (n, n+1) are both refactorable. Op: On-Line Encyclopedia of Integer Sequences.
  7. R.E. Kennedy, C.N. Cooper (1990): Tau Numbers, Natural Density, and Hardy and Wright’s Theorem 437. In: International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences; vol. 13; pp. 383-386.
  8. Refactoren” (een werkwoord) is in de informatica het “herschrijven van de code van een computerprogramma ter bevordering van het onderhoud en de leesbaarheid”.