Vergelijking van Clairaut

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie

De vergelijking van Clairaut is een differentiaalvergelijking van de gedaante

,

waarin een continu differentieerbare functie is.

De oplossing bestaat uit een oneindig grote verzameling rechten, plus één speciale oplossing, de singuliere oplossing, waarvan de grafiek de rechten van de algemene oplossing omhult. Deze vergelijking is genoemd naar de Parijse wiskundige Alexis Claude Clairaut (1713-1765).

Oplossing[bewerken | brontekst bewerken]

De oplossingsmethode bestaat eruit eerst te zoeken naar oplossingen die tweemaal continu differentieerbaar zijn en de vergelijking nog eens naar te differentiëren:

,

zodat

Dit betekent dat ofwel:

ofwel

Eerste factor gelijk aan nul[bewerken | brontekst bewerken]

Als tweede afgeleide nul is, is eerste afgeleide constant:

Als dit in de vergelijking van Clairaut wordt ingevuld, geeft dit als oplossing een familie rechten:

Dit is de algemene oplossing van de vergelijking van Clairaut.

Tweede factor gelijk aan nul[bewerken | brontekst bewerken]

Dat betekent:

Dit bepaalt één oplossing , de singuliere oplossing, waarvan de grafiek de omhullende is van de algemene oplossing. Deze kan concreet gevonden worden door de functie te elimineren uit de vergelijkingen:

Algemene geval[bewerken | brontekst bewerken]

Een willekeurige oplossing, die niet noodzakelijk tweemaal continu differentieerbaar hoeft te zijn, is een functie die stuksgewijs bestaat uit gedeelten van de rechten uit de algemene oplossing en delen van de singuliere oplossing.

Voorbeeld[bewerken | brontekst bewerken]

De oplossing van de Clairautvergelijking uit het voorbeeld. In het blauw staan een aantal rechten uit de algemene oplossing en in het rood de singuliere oplossing die deze rechten omhult.

De vergelijking:

is een vergelijking van Clairaut met:

De algemene oplossing is de verzameling rechten:

De singuliere oplossing volgt uit:

zodat de singuliere oplossing wordt: