Wederzijds singuliere maten

In de maattheorie, een tak van de wiskundige analyse, noemt men twee maten $\mu$ en $\nu$ op een gegeven meetbare ruimte $(X,{\mathcal {A}})$ wederzijds singulier, genoteerd $\mu \perp \nu$, als ze geconcentreerd zijn op onderling disjuncte meetbare verzamelingen. Dat houdt in dat er disjuncte meetbare verzamelingen $A,B\in {\mathcal {A}},\ A\cap B=\varnothing$ zijn, zodanig dat voor alle meetbare verzamelingen $C\in {\mathcal {A}}$ geldt:

$\mu (C)=\mu (C\cap A)$ en $\nu (C)=\nu (C\cap B)$

Wederzijdse singulariteit is in zekere zin het "tegenovergestelde" van absolute continuïteit. Dit wordt gesterkt door de elementaire opmerking dat als $\nu \ll \mu$ en $\nu \perp \mu$, dan $\nu =0$, en door de (allerminst elementaire) onderstaande stelling.

Stelling van Radon-Nikodym-Lebesgue

Als $\mu$ en $\nu$ eindige maten zijn op een meetbare ruimte $(X,{\mathcal {A}})$, dan kan $\nu$ op eenduidige wijze gesplitst worden in een singulier en een absoluut continu gedeelte:

$\nu =\nu _{s}+\nu _{a},\nu _{a}\ll \mu ,\nu _{s}\perp \mu$

Bovendien is $\nu _{s}\perp \nu _{a}$, en $\nu _{a}$ heeft een $\mu$-integreerbare dichtheidsfunctie $f$:

$\nu _{a}(A)=\int _{A}f\,\mathrm {d} \mu \quad$ voor alle $A\in {\mathcal {A}}$