Wet van Bernoulli

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
De Bernoullivergelijking op drie punten in een buis

De wet van Bernoulli is een natuurkundige wetmatigheid die het stromingsgedrag van vloeistoffen en gassen beschrijft, en de drukveranderingen aan hoogte- en snelheidsveranderingen relateert. Het is een wet uit de aero- en hydrodynamica, die in de achttiende eeuw werd beschreven door Daniel Bernoulli.

Een van de natuurkundige effecten die de wet beschrijft, is dat een toename in de snelheid van een vloeistof of gas gepaard gaat met een verlaging van de druk in die vloeistof of dat gas.

Beschrijving[bewerken]

De wet is genoemd naar Daniel Bernoulli, hoewel het Leonhard Euler was die de vergelijking in de navolgende vorm als eerste afleidde. De formule is, onder strenge voorwaarden, een vereenvoudigde vorm van de wet van behoud van energie. In feite formuleert de wet het behoud van de energiedichtheid langs een stroomlijn voor stationaire stromingen in onsamendrukbare en niet-viskeuze media met constante (massa)dichtheid. Langs een stroomlijn geldt:

\tfrac 12\rho v^2 + \rho gh+ p= \mathrm{constant}.

Hierin is:

v de snelheid (m/s)
g de valversnelling (m/s²)
h het hoogteverschil (m)
p de druk (Pa)
ρ de (massa)dichtheid (kg/m³)

In de formule zien we de kinetische energiedichtheid of dynamische druk \tfrac 12\rho v^2 en de gravitatiedruk \rho gh.

Omgerekend naar lengte-eenheden levert dit voor het totale energieniveau H [m] van de stromende vloeistof:

\frac{ v^2}{2g}+h+{p \over \rho g}=H .

Hierin is  h +{p \over \rho  g} het zogenaamde piëzometrisch niveau en  {v^2 \over 2 g} de snelheidscomponent.

Uitbreiding[bewerken]

De wet kan uitgebreid worden door toe te laten dat de temperatuur van het medium langs de stroomlijn verandert:

\tfrac 12 v^2+ gh + {p \over \rho}+\frac{u}{g}=\mathrm{constant}
u: dichtheid van de energie-inhoud van het medium (indien het medium opgewarmd wordt, stijgt u)

De wet is van toepassing als de volgende aannames van toepassing zijn:

De wet geldt alleen voor twee punten op dezelfde stroomlijn.

Figuur wet van Toricelli

Aan de hand van deze vergelijking kan de wet van Torricelli, waarmee de snelheid van water onderaan een vrij reservoir berekend wordt, aangetoond worden:

\tfrac 12 v_a^2+gh_a+{p_a \over \rho} + {u_a \over g} = \tfrac 12v_b^2+gh_b+{p_b \over \rho} + {u_b \over g}

We verwaarlozen de term va, stellen pa=pb (vrij reservoir), nemen ha=0 en hb=-h, en veronderstellen dat de inwendige energie van het water niet verandert; dan wordt de formule:

0= \tfrac 12 v_b^2-gh \Rightarrow v_b = \sqrt{2 g h}

Toepassingen[bewerken]

De Wet van Bernoulli wordt onder andere gebruikt in berekeningen aan een pitotbuis.

Een veelgebruikte afgeleide formule van de wet binnen de procestechnologie is:

 p_a + \rho gh_a + \tfrac 12 \rho v^{2}_a = p_b + \rho gh_b + \tfrac 12\rho v^2_b + \Delta p_f

Hierin is:

p_a de druk in punt a (als voorbeeld kan bovenstaande afbeelding gebruikt worden)
\rho de dichtheid van de vloeistof
g de valversnelling
h_a de (relatieve) hoogte in punt a
v_a de stroomsnelheid in punt a
p_b de druk in punt b
h_b de (relatieve) hoogte in punt b
v_b de stroomsnelheid in punt b
\Delta p_f de drukval als gevolg van wrijving.

Deze formule kan natuurlijk ook uitgebreid worden voor meer dan twee punten. In principe is het mogelijk om oneindig veel punten te beschrijven. Voor n punten ziet de formule er als volgt uit:

 
p_1 + \rho gh_1 + \tfrac 12\rho v^2_1 = 
p_2 + \rho gh_2 + \tfrac 12\rho v^2_2 + \Delta p_{f \langle 1,2 \rangle}\ =
\ldots=
p_n + \rho gh_n +\tfrac 12 \rho v^2_n +\Delta p_{f \langle n-1,n \rangle}