Axioma's van de kansrekening

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

De axioma's van de kansrekening zijn enkele door de Russische wiskundige Kolmogorov geformuleerde axioma's om een strenge onderbouwing te geven aan de kansrekening. Gedurende lange tijd werd kansrekening bedreven op grond van experimenten met een eindig aantal even waarschijnlijke uitkomsten. Op tamelijk gekunstelde wijze werden situaties die niet direct op deze wijze beschreven konden worden zo gemodelleerd dat zij toch in dit raamwerk pasten. Meer en meer leidde dit tot onoverkomelijke moeilijkheden in de theorie. In 1934 doorbrak Kolmogorov de impasse door een axiomatische aanpak van de kansrekening voor te stellen.

Kansruimte[bewerken]

Bij kansrekening hebben we te maken met een willekeurige (niet-lege) verzameling Ω en een collectie deelverzamelingen daarvan, \scriptstyle \mathcal{F}, de gebeurtenissen. Op de collectie gebeurtenissen is een kans P (van 'Probabilitas') gedefinieerd. De verzameling Ω kan worden gezien als de verzameling van de mogelijke uitkomsten van een kansexperiment; daarom wordt Ω de 'uitkomstenruimte' genoemd en de elementen van Ω uitkomsten. Over het algemeen kan niet iedere deelverzameling van Ω als gebeurtenis optreden; de deelverzamelingen die wel als gebeurtenis kunnen optreden vormen een speciale collectie \scriptstyle \mathcal{F}. Om te garanderen dat allerlei met een of meer gebeurtenissen samenhangende deelverzamelingen van Ω ook tot de gebeurtenissen behoren, wordt gëeist dat \scriptstyle \mathcal{F} een σ-algebra is. De kans P moet voldoen aan de volgende voorwaarden, de zogenaamde axioma's van Kolmogorov:

  1. Voor iedere gebeurtenis A geldt: P(A) ≥ 0 (een kans is niet negatief).
  2. P(Ω) = 1 (de totale kans is genormeerd op een).
  3. Voor een rij disjuncte gebeurtenissen (Ak), dus met A_i \cap A_j = \empty voor ongelijke i en j, geldt:
 P(\bigcup A_k) = \sum P(A_k).
(In woorden: voor gebeurtenissen die niet tegelijkertijd kunnen optreden, kun je de kans dat een van deze gebeurtenissen optreedt, berekenen als de som van de kansen op de afzonderlijke gebeurtenissen.)

Een dergelijk drietal \scriptstyle (\Omega,\mathcal{F},P) heet kansruimte en is een bijzonder geval van een maatruimte.

Voorbeeld[bewerken]

Bij eenmaal gooien met een dobbelsteen is de uitkomstenruimte (verzameling mogelijke uitkomsten) Ω = {1,2,3,4,5,6}. Voor de gebeurtenissen kunnen we hier alle deelverzamelingen van Ω nemen. De kans op een van de ogenaantallen 1 tot en met 6, dus de kans op heel Ω, is 1. De kans op een van de ogenaantallen uit {1,2,3,5,6} is gelijk aan de kans op een uitkomst uit {1,5} plus de kans op een uitkomst uit {2,3,6}. Bij een zuivere dobbelsteen zal de kans op elk van de gebeurtenissen {1}, {2}, ...,{6} hetzelfde zijn en dus gelijk aan 1/6. Voor de hiervoor genoemde gebeurtenissen geldt dan:

P(\{1,2,3,5,6\}) = \tfrac{5}{6} = \tfrac{2}{6} + \tfrac{3}{6}=P(\{1,5\})+P(\{2,3,6\}).

Eigenschappen[bewerken]

Opmerking: In de verzamelingenleer is gedefinieerd:

B \setminus A = \{x|x \in B, x \notin A\}

Uit bovenstaande axioma's zijn de volgende eigenschappen afleidbaar:

  • P(\empty) = 0
immers, \empty \cap \empty = \empty; er geldt dus
P(\empty)=P(\empty \cup \empty) = P(\empty) + P(\empty)
  • als A_1, A_2, \ldots, A_n, een eindig aantal paarsgewijs disjuncte gebeurtenissen is (elk tweetal heeft een lege doorsnede), dan geldt: P(A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n) = P(A_1) + P(A_2) + \ldots + P(A_n)
immers, Pr(A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n) = P(A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n \cup \empty \cup \empty \cup \ldots )
 = P(A_1) + P(A_2) + \ldots + P(A_n)
  • als A_1, A_2, \cdots ,A_n paarsgewijs disjuncte gebeurtenissen zijn, en A_1\cup A_2\cup \cdots \cup A_n= \Omega, dan geldt P(A_1) + P(A_2) + .... + P(A_n) = 1\,
dit volgt uit axioma 3, door de keuze A_k=\emptyset, voor k>n in combinatie met axioma 2
  • als A en B gebeurtenissen zijn, geldt
P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)
want A en B\setminus A zijn disjunct, zodat P(A \cup B) = P(A \cup (B\setminus A)) = P(A) + P(B \setminus A)
ook zijn B\setminus A en A \cap B disjunct
(immers x \in B\setminus A \implies x \notin A en x \in A \cap B \implies x \in A)
zodat  P(B)= P(B \setminus A) + P(A \cap B).

Zie ook[bewerken]