Chi-kwadraattoets

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Een chi-kwadraattoets is in de statistiek een toets om na te gaan of twee of meer verdelingen (populaties) van elkaar verschillen. Het kan daarbij gaan om een bekende verdeling en een onbekende waaraan waarnemingen zijn gedaan of om twee onbekende verdelingen waaraan waarnemingen zijn gedaan. De toets gaat na of waargenomen aantallen systematisch afwijken van verwachte (of gemiddelde) aantallen, en berekent daartoe het totaal van de gewogen kwadratische afwijkingen tussen deze aantallen. Een chi-kwadraattoets wordt veel gebruikt om kruistabellen te analyseren. Omdat er geen aannamen over gemiddelden of over de populatie worden gedaan is dit een parametervrije toets. Ook het meetniveau is niet van belang omdat er alleen naar aantallen wordt gekeken. De chi-kwadraattoets vindt toepassing als:

  • aanpassingstoets, waarbij getoetst wordt of de gevonden data passen bij een veronderstelde verdeling;
  • onafhankelijkheidstoets, waarbij getoetst wordt of de simultane verdeling waaruit de data komen bestaat uit twee onafhankelijke.
  • homogeniteitstoets, waarbij getoetst wordt of verschillende steekproeven uit dezelfde verdeling afkomstig zijn.

Chi-kwadraattoetsingsgrootheid[bewerken]

Een chi-kwadraattoetsingsgrootheid heeft de volgende vorm:

\chi^2=\sum\frac{(f-e)^2}{e},

waarin e de verwachte (of gemiddelde) en f de waargenomen frequentie is, en gesommeerd wordt over alle mogelijkheden.

Aanpassingstoets[bewerken]

Met de aanpassingstoets wordt nagegaan of een onbekende discrete verdeling op de waarden x_1,\ldots,x_k al dan niet verschilt van een bekende verdeling. De onbekende discrete verdeling wordt bepaald door de onbekende kansen p_k=p(x_k) op de waarden x_k.

Voor de toets wordt een aselecte steekproef X_1,\ldots,X_n van omvang n genomen uit de onbekende verdeling. De chi-kwadraat-aanpassingstoets toetst de nulhypothese dat de steekproef uit een bekende verdeling afkomstig is:

H_0: p_k=p_{0k} voor alle k

op basis van de toetsingsgrootheid:

\chi^2=\sum_k\frac{(N_k-np_{0k})^2}{np_{0k}},

waarin N_k het aantal keren is dat in de steekproef de waarde x_k voorkomt. p_{0k} is de kans op het voorkomen van x_k volgens de nulhypothese en dus is np_{0k} het aantal keer dat x_k zou voorkomen op basis van de nulhypothese.

Voor voldoend grote n is de toetsingsgrootheid onder de nulhypothese bij benadering chi-kwadraatverdeeld met n-1 vrijheidsgraden. De nulhypothese wordt verworpen voor te grote waarden van de toetsingsgrootheid.

Merk op dat deze test eigenlijk de relatieve euclidische afstand meet tussen de twee functies.

Voorbeeld[bewerken]

Iemand krijgt een dobbelsteen in handen die er niet erg symmetrisch uitziet. Zou de dobbelsteen wel zuiver zijn? Hij gooit er 60 keer mee en verwacht elk van de ogenaantallen ongeveer 10 keer te gooien. Met Ni geven we het aantal keren aan dat het ogenaantal i boven kwam. Hij vindt als uitkomst voor de ogenaantallen 1 tot en met 6 resp. de waarden:

i 1 2 3 4 5 6 n
n_i 13 9 8 11 5 14 60

Hij toetst de nulhypothese:

H_0:"de dobbelsteen is zuiver"

met de chi-kwadraattoets en gaat zo na of de gevonden aantallen passen bij de verdeling van een zuivere dobbelsteen. De toetsingsgrootheid is:

\Chi^2=\sum_{i=1}^{6}\frac{(N_i-e_i)^2}{e_i};

deze meet de "afstand" tussen de gevonden frequenties N_i en de verwachte e_i. Onder de nulhypothese heeft de toetsingsgrootheid bij benadering een chi-kwadraatverdeling met 5 vrijheidsgraden. De waarde die de toetsingsgrootheid in de steekproef aanneemt is:

\chi^2=\sum_{i=1}^{6} \frac{(n_i-10)^2}{10}=\frac{3^2+1^2+2^2+1^2+5^2+4^2}{10}=\frac{9+1+4+1+25+16}{10}=5{,}6.

De nulhypothese wordt verworpen als deze "afstand" te groot is. De p-waarde (overschrijdingskans) van de gevonden uitkomst is:

p-waarde = P(\Chi^2\ge \chi^2; H_0) = P(\chi^2(5) \ge 5{,}6) \approx 34{,}7\ %.

Er is dus absoluut geen reden om, gezien de uitkomst van de 60 worpen, aan de zuiverheid van de dobbelsteen te twijfelen, want er is 34,7% kans om met een zuivere dobbelsteen een resultaat te krijgen met een minstens zo grote "afstand".

Onafhankelijkheidstoets[bewerken]

Met de onafhankelijkheidstoets wordt nagegaan of waarnemingen uit een onbekende simultane discrete verdeling op de waarden (x_1,y_1),\ldots,(x_k,y_r) al dan niet onderling onafhankelijk zijn. De onbekende discrete verdeling wordt bepaald door de onbekende kansen p_{i,j}=p((x_i,y_j)) op de waarden (x_i,y_j).

Voor de toets wordt een aselecte steekproef (X_1,Y_1)\ldots,(X_n,Y_n) van omvang n genomen uit de onbekende simultane discrete verdeling van de stochastische variabelen X en Y. De chi-kwadraat-onafhankelijkheidstoets toetst de nulhypothese dat X en Y onderling onafhankelijk zijn:

H_0: p_{i,j}=p_{i}\cdot p_{j} voor alle i en j,

waarin

p_{i\cdot}=\sum_j p_{i,j} \text{ en }p_{\cdot j} =\sum_i p_{i,j},

op basis van de toetsingsgrootheid:

\chi^2=\sum_{i,j}\frac{(N_{i,j}-N^*_{i,j})^2}{N^*_{i,j}}.

Daarin is N_{i,j} het aantal keren dat in de steekproef het paar (x_i,y_j) voorkomt, zijn

N_{i\cdot }= \sum_j N_{i,j}\text{ en } N_{\cdot j}= \sum_i N_{i,j}

de verschillende randtotalen en is:

N^*_{i,j}=\frac{N_{i\cdot}N_{\cdot j}}{n}

Voor voldoend grote N_{i,j} is de toetsingsgrootheid onder de nulhypohese bij benadering chi-kwadraatverdeeld met (k-1)(r-1) vrijheidsgraden. De nulhypothese wordt verworpen voor te grote waarden van de toetsingsgrootheid.

Voorbeeld[bewerken]

Iemand gooit uit de hand 100 keer met twee dobbelstenen en wil nagaan of de worpen mogelijk afhankelijk zijn. In de onderstaande tabel staan de uitkomsten, geaccumuleerd tot het aantal keren n_{ij} dat de ogencombinatie (i,j) gegooid werd, met de randtotalen:

n_{ij} 1 2 3 4 5 6 n_{i\cdot}
1 2 4 3 6 1 3 19
2 4 6 2 4 3 3 22
3 3 2 1 3 3 4 16
4 2 3 0 2 2 2 11
5 5 1 4 3 2 5 20
6 0 6 0 1 2 3 12
n_{\cdot j} 16 22 10 19 13 20 100

De volgende tabel toont de waarden van n^*_{ij}=\frac{n_{i\cdot}n_{\cdot j}}{n}:

n^*_{ij} 1 2 3 4 5 6 n_{i\cdot}
1 3,04 4,18 1,90 3,61 2,47 3,80 19
2 3,52 4,84 2,20 4,18 2,86 4,40 22
3 2,56 3,52 1,60 3,04 2,08 3,20 16
4 1,76 2,42 1,10 2,09 1,43 2,20 11
5 3,20 4,40 2,00 3,80 2,60 4,00 20
6 1,92 2,64 1,20 2,28 1,56 2,40 12
n_{\cdot j} 16 22 10 19 13 20 100

Vervolgens is voor elke i en j de term \frac{(n_{ij}-n^*_{ij})^2}{n^*_{ij}} berekend:

(i,j) 1 2 3 4 5 6
1 0,36 0,01 0,64 1,58 0,87 0,17 3,63
2 0,07 0,28 0,02 0,01 0,01 0,45 0,82
3 0,08 0,66 0,23 0,00 0,41 0,20 1,56
4 0,03 0,14 1,10 0,00 0,23 0,02 1,52
5 1,01 2,63 2,00 0,17 0,14 0,25 6,20
6 1,92 4,28 1,20 0,72 0,12 0,15 8,39
3,46 7,98 5,18 2,48 1,78 1,23 22,12

met als totaal: \chi^2=22{,}12.

Onder de nulhypothese van onafhankelijkheid is de toetsingsgrootheid bij benadering chi-kwadraatverdeeld met (6-1)(6-1) = 25 vrijheidsgraden. De overschrijdingskans van de gevonden waarde 22,12 is groter dan 0,5, zodat er geen reden is om aan de onafhankelijkheid te twijfelen.

Opgemerkt moet worden dat voor een goede benadering de waargenomen aantallen n_{ij} niet te klein mogen zijn. In de literatuur worden grenzen van 1 tot 5 genoemd. In dit voorbeeld is aan deze eis niet voldaan, maar het toont wel het principe van de toets.

Homogeniteitstoets[bewerken]

Met de homogeniteitstoets wordt nagegaan of een aantal discrete verdelingen op dezelfde waarden x_1,\ldots,x_k al dan niet van elkaar verschillen. De r discrete verdelingen worden voor i=1,...,r bepaald door de onbekende kansen p_{i,j}=p_i(x_j) op de waarden x_j.

Voor de toets worden voor i=1,\ldots,r onderling onafhankelijke aselecte steekproeven X_{i,1},\ldots,X_{i,n_i} van omvang n_i genomen. De chi-kwadraat-homogeniteitstoets toetst de nulhypothese dat de steekproeven uit dezelfde verdeling afkomstig zijn:

H_0: p_{i,j}=p_j voor alle i en j,

op basis van de toetsingsgrootheid:

\chi^2=\sum_{i,j}\frac{(N_{i,j}-N^*_{i,j})^2}{N^*_{i,j}}.

Daarin is N_{i,j} het aantal keren dat in de i-de steekproef de waarde x_j voorkomt, zijn

N_{\cdot j}= \sum_i N_{i,j}

randtotalen en is:

N^*_{i,j}=\frac{n_i N_{\cdot j}}{\sum_i n_i}

Voor voldoend grote N_{i,j} is de toetsingsgrootheid onder de nulhypothese bij benadering chi-kwadraatverdeeld met (k-1)(r-1) vrijheidsgraden. De nulhypothese wordt verworpen voor te grote waarden van de toetsingsgrootheid.

Voorbeeld[bewerken]

Iemand heeft drie valse dobbelstenen gemaakt door in de zijde met 1 oog een gat te boren en dat te vullen met lood. Om na te gaan of de dobbelstenen in dezelfde mate vals zijn, gooit hij met elke dobbelsteen een groot aantal keren. In de onderstaande tabel staan voor elk van de drie dobbelstenen de uitkomsten, geaccumuleerd tot het aantal keren n_{ij} dat met dobbelsteen i het ogenaantal j gegooid werd, met de randtotalen:

n_{ij} 1 2 3 4 5 6  n_i
1 5 8 4 6 4 23 50
2 13 7 14 15 4 47 100
3 14 6 11 10 11 98 150
n_{\cdot j} 32 21 29 31 19 168 300

De volgende tabel toont de waarden van n^*_{ij}=\frac{n_in_{\cdot j}}{\sum n_i}:

n^*_{ij} 1 2 3 4 5 6  n_i
1 5,33 3,50 4,83 5,17 3,17 28,00 50
2 10,67 7,00 9,67 10,33 6,33 56,00 100
3 16,00 10,50 14,50 15,50 9,50 84,00 150
n_{\cdot j} 32 21 29 31 19 168 300

Vervolgens is voor elke i en j de term \frac{(n_{ij}-n^*_{ij})^2}{n^*_{ij}} berekend:

(i,j) 1 2 3 4 5 6 sub
1 0,02 5,79 0,14 0,13 0,22 0,89 7,20
2 0,51 0,00 1,94 2,11 0,86 1,45 6,87
3 0,25 1,93 0,84 1,95 0,24 2,33 7,55
sub 0,78 7,71 2,93 4,19 1,32 4,67 21,61

met als totaal: \chi^2=21{,}61.

Onder de nulhypothese van homogeniteit is de toetsingsgrootheid bij benadering chi-kwadraatverdeeld met (3-1)(6-1) = 10 vrijheidsgraden. De overschrijdingskans van de gevonden waarde 21,61 is kleiner dan 0,025, zodat er reden is om te twijfelen aan de homogeniteit.