Cirkels van Soddy

De cirkels van Soddy zijn een bijzonder geval van het raakprobleem van Apollonius, waarin de drie gegeven cirkels elkaar raken, gesitueerd in een driehoek. De cirkels zijn vernoemd naar Frederick Soddy, die voor deze cirkels de Stelling van Descartes herontdekte, en publiceerde op 20 juni 1936 in Nature met de titel The kiss precise in de vorm van een gedicht.

Beschrijving

Gegeven een driehoek ABC en zijn raakpuntendriehoek, zijn er drie elkaar rakende cirkels met een van de hoekpunten van ABC als middelpunt en die elk door twee hoekpunten van de raakpuntendriehoek gaan. De cirkels van Soddy zijn de twee cirkels die aan deze drie cirkels raken. In het algemeen onderscheidt men de binnenste en buitenste, of ingeschreven en omgeschreven, cirkel van Soddy.

Eigenschappen

• De middelpunten van de cirkels van Soddy zijn het isoperimetrisch punt (buitenste cirkel van Soddy) en het gelijke-omweg-punt (binnenste cirkel van Soddy).
• De stralen zijn

$r = \left| \frac{\Delta}{4R+r\pm p} \right|,$

waarin Δ de oppervlakte van ABC weergeeft, r de straal van de ingeschreven cirkel, R van de omgeschreven cirkel, terwijl p staat voor de omtrek.

Bronnen, noten en/of referenties

Bronnen, noten en/of referenties:

• Dergiades, N. (2007) "The Soddy circles", Forum Geometricorum, jrg. 7 pp. 191--197.