Stelling van Descartes

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de meetkunde is de Stelling van Descartes, vernoemd naar René Descartes, een relatie tussen de stralen van vier onderling rakende cirkels. De stelling geeft aan hoe uitgaande van drie onderling rakende cirkels een vierde cirkel te construeren is die aan deze drie raakt. Dit is een bijzonder geval van het raakprobleem van Apollonius.

René Descartes besprak het probleem beknopt in 1643 in een correspondentie met prinses Elizabeth Stuart. Hij gaf in essentie dezelfde oplossing als bij vergelijking (1), waardoor het theorema zijn naam kreeg.

Definitie van kromming[bewerken]

Gegeven drie elkaar rakende cirkels (zwart), welke straal kan dan de vierde rakende cirkel hebben? In het algemeen zijn er twee mogelijke antwoorden (rood). De getallen zijn de krommingen.

De stelling van Descartes wordt in het algemeen geformuleerd met het begrip kromming van de cirkel. Deze kromming is gedefinieerd als k = ±1/r, waarin r de straal is. Hoe groter de cirkel, hoe kleiner de kromming en vice versa.

Het plusteken in k = ±1/r slaat op een cirkel die aan zijn buitenkant raakt aan de andere cirkels, zoals de zwarte cirkels in de afbeelding. Voor een cirkel die de andere cirkels aan zijn binnenkant raakt wordt het minteken gebruikt.

Een rechte lijn kan in de stelling van Descartes worden als een ontaarde cirkel, met kromming k = 0.

Stelling[bewerken]

Als vier elkaar onderling rakende cirkels krommingen ki (for i = 1...4) hebben, dan zegt de Stelling van Descartes:

(1)
(k_1+k_2+k_3+k_4)^2=2\,(k_1^2+k_2^2+k_3^2+k_4^2).

Om de straal te vinden van een vierde cirkel die raakt aan drie gegeven cirkels, kan de vergelijking het best worden herschreven als:

(2)
k_4=k_1+k_2+k_3\pm2\sqrt{k_1k_2+k_2k_3+k_3k_1}.

Het ± teken laat zien dat er in het algemeen twee oplossingen voor k_4 zijn, uitgezonderd:

  • als twee van de drie cirkels ontaard zijn, valt k_4 samen met de enige niet-ontaarde cirkel;
  • in het 'pathologische' geval dat k_1, k_2 en k_3 alle drie ontaard zijn, is k_4 ook ontaard.

Zie ook[bewerken]

Externe link[bewerken]

  • (en) Applet bij cut-the-knot.