Hoogtelijn (driehoek)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
(Doorverwezen vanaf Hoogtelijn (meetkunde))
Ga naar: navigatie, zoeken
Hoogtelijn in een rechthoekige driehoek

Een hoogtelijn in een driehoek is een lijn die door een van de hoekpunten gaat en loodrecht op de tegenoverliggende zijde staat. De drie hoogtelijnen van een driehoek gaan door één punt, het hoogtepunt van de driehoek. De oppervlakte van een driehoek kan uitgedrukt worden met behulp van een hoogtelijn. De oppervlakte is gelijk aan de helft van het product van de lengte van een hoogtelijn (van hoek tot eventueel verlengde zijde) en de bijbehorende zijde.

Lengte[bewerken]

De lengte van de hoogtelijn h_a vanuit hoekpunt A is gegeven door

h_a = c \sin B = b \sin C = \frac{bc}{2R} = \frac{2\Delta}{a}

waarbij R de straal van de omgeschreven cirkel is, \Delta de oppervlakte van driehoek ABC, en A, B en C de hoeken van die driehoek.

Ook geldt de formule

\frac 1{h_a} + \frac 1{h_b} + \frac 1{h_c} = \frac 1r

waarin r de straal van de ingeschreven cirkel is.

Met de stralen r_a, r_b en r_c van de aangeschreven cirkels geldt

- \frac 1{h_a} + \frac 1{h_b} + \frac 1{h_c} = \frac 1{r_a},
 \frac 1{h_a} - \frac 1{h_b} + \frac 1{h_c} = \frac 1{r_b},
 \frac 1{h_a} + \frac 1{h_b} - \frac 1{h_c} = \frac 1{r_c}.