Hydrostatisch evenwicht

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Hydrostatisch evenwicht drukt een evenwicht uit tussen het verloop van de gasdruk in een kolom gas enerzijds en de gravitatie anderzijds. Dit evenwicht wordt onder andere gebruikt in wiskundige stermodellen. Een ster bestaat immers uit gas, dat wordt samengedrukt door de zwaartekracht.

afleiding[bewerken]

Cilindertje onderhevig aan hydrostatisch evenwicht

Beschouw een infinitesimaal cilindertje met als oppervlakte van het grondvlak dA, en hoogte dr. Het grondvlak bevindt zich op afstand r van het stercentrum, het bovenvlak bijgevolg op afstand r+dr. Gezien de infinitesimaal kleine afmeting van het cilindertje kan zijn dichtheid als constant beschouwd worden, \rho(r). De verticale krachten die op dit cilindertje inwerken zijn :

  • een opwaartse drukkracht op het grondvlak, met grootte
P(r).dA \!
  • een neerwaartse drukkracht op het bovenvlak met grootte
P(r+dr).dA \!
  • zwaartekracht. Deze is eveneens neerwaarts en heeft als grootte
G\frac{M_r \, m_c}{r^2} \!

waar G de universele gravitatieconstante is, M_r de massa van de ster binnen een afstand r van het stercentrum, m_c de massa van de cilinder, en r de afstand van de cilinder tot het stercentrum. De massa van de cilinder is op zijn beurt gelijk aan zijn dichtheid vermenigvuldigd met zijn volume :

m_c \, = \, \rho(r) \, dA \, dr

Hydrostatisch evenwicht betekent dat men eist dat de totale kracht op de cilinder nul is. Rekening houdend met de richtingen waarin de drie krachten werken:

P(r) \, dA \, = \, -P(r+dr) \, dA - G\frac{M_r \, \rho(r) \, dA \, dr}{r^2}

De druk P(r+dr) kan worden bendaderd door zijn eerste orde Taylor-benadering:

P(r+dr) \, = \, P(r) \, + \, \frac{dP}{dr} \, dr \,

Substitutie van deze uitdrukking laat vervolgens toe links en rechts de bijdrage P(r) weg te laten, en vervolgens de factoren dA en dr weg te delen. Het resultaat is dan:

\frac{dP}{dr} \, = \, - \, G \, \frac{M_r \, \rho(r)}{r^2}

Dit is de formule voor hydrostatisch evenwicht, die in stermodellen als een van de differentiaalvergelijkingen wordt opgenomen. In het algemeen wordt deze wet gebruikt in wiskundige modellen van atmosferen van sterren en planeten.