Inverse laplacetransformatie

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

De inverse laplacetransformatie is een wiskundige transformatie die de laplacetransformatie ongedaan maakt en gebruikt wordt om wiskundige en technische, tijdsafhankelijke problemen op te lossen.

Veel vraagstukken waarin differentiaal- en integraalvergelijkingen voorkomen worden eerst via de laplacetransformatie omgezet in wiskundig eenvoudiger functies. Deze functies (ook wel beeldfuncties van de oorspronkelijke tijdsfuncties genoemd) kunnen in veel gevallen opgelost worden via bekende algebraïsche methoden. Om de oplossing(en) van deze beeldfuncties terug te brengen naar de oorspronkelijke tijdsfunctie is een inverse laplacetransformatie noodzakelijk.

Definitie[bewerken]

Zij f(t) een gegeven tijdsfunctie dan wordt per definitie de beeldfunctie, F(s), via laplacetransformatie bepaald door:


F(s) 
=\mathcal{L} \left\{f(t)\right\}  
= \int_0^\infty e^{-st} \cdot f(t)\,dt

De oorspronkelijke tijdsfunctie kan bepaald worden door de inverse laplacetransformatie toe te passen op deze beeldfunctie:


f(t)
=\mathcal{L}^{-1} \left\{F(s)\right\}
=\int_{\gamma-i.\infty}^{\gamma+i.\infty} e^{st} \cdot F(s)\,ds

Om de oorspronkelijke tijdsfunctie te bepalen aan de hand van bovenstaande definitie is het dus nodig om een complexe integraal te berekenen. Om die reden wordt in veel gevallen beroep gedaan op eenvoudiger methoden.

Bepalen van de inverse laplacetransformatie[bewerken]

Gebruik van tabellen[bewerken]

Eenvoudige beeldfuncties F(s) kunnen door het gebruik van conversietabellen onmiddellijk omgezet worden in de gezochte tijdsfunctie f(t). Deze tabellen zijn beschikbaar in wiskundige, natuurkundige of engineering-vademeca. Ook via het internet worden veel tabellen aangeboden. Een aantal functies kan gevonden worden via de voorbeelden in de pagina laplacetransformatie.

Omzetting door gebruik te maken van de eigenschappen van de laplacetransformatie[bewerken]

Indien de beeldfunctie niet rechtstreeks gevonden wordt in gegeven tabellen, dan kan door toepassing van de eigenschappen van de laplacetransformatie de tijdsfunctie op een indirecte manier samengesteld worden.

voorbeeld:


f(t)
=\mathcal{L}^{-1} \left\{\frac {1}{(s-b)^2 + a^2}\right\}

Hierin herkennen we de eigenschap van de verschuiving van de beeldfunctie:


\mathcal{L}^{-1} \left\{F(s-b)\right\}=e^{b \cdot t} \cdot f(t)

Door toepassing van deze eigenschap herleid de opgegeven beeldfunctie F(s) zich tot een eenvoudiger functie F(p):


\mathcal{L}^{-1} \left\{\frac {1}{p^2 + a^2}\right\}=\frac{\sin{a \cdot t}}{a}

Door beide te combineren bekomen we de uiteindelijke oplossing van het opgegeven vraagstuk:


f(t)
=\mathcal{L}^{-1} \left\{\frac {1}{(s-b)^2 + a^2}\right\}
=e^{b \cdot t} \cdot \frac{\sin{a \cdot t}}{a}

Partieelbreuken[bewerken]

Elke rationale functie van de vorm T(s)/N(s), waarbij T(s) en N(s) veeltermfuncties zijn en waarbij de graad van T(s) kleiner is dan de graad van N(s), kan geschreven worden als een som van rationale functies, bijvoorbeeld met behulp van breuksplitsing. Deze rationale functies zijn van de vorm:


\frac{A}{(a \cdot s+b)^r} \quad , \quad \frac{A_n \cdot s+B_n}{(a_n \cdot s^2+b_n \cdot s+c_n)^r} \qquad \text{met }r=1,2,3,\ldots

Elke deelterm van deze bekomen functie kan via tabellen of andere methoden eenvoudig omgezet worden. De partieelbreuken-methode maakt gebruik van de lineariteitseigenschap van de laplacetransformatie.

Formule van Heaviside[bewerken]

Van een gegeven rationale functie T(s)/N(s) bepalen we eerst de nulpunten van N(s):


\alpha_k \qquad \text{met } k=1,2,3,\ldots ,n

Met de formule van Heaviside kunnen we f(t) berekenen uit:


f(t)
=\mathcal{L}^{-1} \left\{F(s)\right\}
=\mathcal{L}^{-1} \left\{\frac {T(s)}{N(s)}\right\}
=\sum_{k=1}^n \frac{T(\alpha_k)}{N'(\alpha_k)} \cdot e^{\alpha_k.t}

Hierbij is:


T(\alpha_k) = T(s)|s=\alpha_k \qquad \text{ en } \qquad N'(\alpha_k) = \frac{d}{ds}N(s)|s=\alpha_k

Gebruik van reeksen[bewerken]

Als de gegeven beeldfunctie via reeksontwikkeling omgezet kan worden in een Taylorreeks, dan kan men de inverse laplacetransformatie bepalen door van elke term afzonderlijk de inverse laplacefunctie te bepalen (lineariteitseigenschap):


F(s)
=\sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{s^{n+1}}
=\frac{a_0}{s} + \frac{a_1}{s^2} + \frac{a_2}{s^3} + \cdots

f(t) 
=\mathcal{L}^{-1} \left\{F(s)\right\}
=\sum_{n=0}^\infty \frac{a_n.t^n}{n!}
=a_0+a_1.t + \frac{a_2.t^2}{2!} + \frac{a_3.t^3}{3!}+\cdots

Gebruik van de convolutiestelling[bewerken]

Als


\mathcal{L}^{-1} \left\{F(s)\right\}=f(t) \qquad en \qquad \mathcal{L}^{-1} \left\{G(s)\right\}=g(t)

Dan is


\mathcal{L}^{-1} \left\{F(s).G(s)\right\}=f(t)  * g(t) = \int_0^t f(u).g(t-u)\,du

Combinatie van bovenstaande methodes[bewerken]

In de meeste gevallen kunnen we door een combinatie van bovenstaande methodes snel tot een oplossing komen.

voorbeeld:

\mathcal{L}^{-1} \left\{\frac{s^2+2s+3}{(s^2+2s+2)\cdot (s^2+2s+5)}\right\}
=\mathcal{L}^{-1} \left\{\frac{\tfrac{1}{3}}{s^2+2s+2} + \frac{\tfrac{2}{3}}{s^2+2s+5}\right\}

=\tfrac{1}{3} \mathcal{L}^{-1} \left\{\frac{1}{(s+1)^2+1}\right\} + \tfrac{2}{3} \mathcal{L}^{-1} \left\{\frac{1}{(s+1)^2+4}\right\}

=\tfrac{1}{3} e^{-t} \sin(t)+\tfrac{2}{3}\cdot\tfrac{1}{2}e^{-t}\sin(2t)

=\tfrac{1}{3} e^{-t} (\sin(t)+\sin(2t))

Zie ook[bewerken]