Liénard-vergelijking
Een Liénard-vergelijking[1] is, in de wiskunde, en meer specifiek, in de studie van dynamische systemen en differentiaalvergelijkingen, een bepaald type differentiaalvergelijking, genoemd naar de Franse natuurkundige Alfred-Marie Liénard (1869–1958).
Gedurende de periode waarin de elektronenbuis werd ontwikkeld, werden Liénard-vergelijkingen intensief bestudeerd, als modellen voor elektronische oscillatoren. Onder bepaalde voorwaarden geeft de stelling van Liénard de garantie dat er voor zo'n systeem een limietcyclus bestaat.
Definitie[bewerken | brontekst bewerken]
Indien en twee continu-differentieerbare functies zijn in , waarbij een oneven functie is, en een even functie, dan wordt een tweede-orde gewone differentiaalvergelijking van de vorm
een Liénard-vergelijking genoemd. Deze vergelijking kan worden omgezet in een gelijkwaardig stelsel van twee gewone differentiaalvergelijkingen. Definieer
Dan wordt
een Liénard-systeem genoemd.
Voorbeeld[bewerken | brontekst bewerken]
is een Liénard-vergelijking, met
De stelling van Liénard[bewerken | brontekst bewerken]
Een Liénard-systeem heeft een unieke en stabiele limietcyclus, die de oorsprong omcirkelt, indien het systeem aan de volgende additionele voorwaarden voldoet:
- voor alle ;
- en
- heeft exact een positief nulpunt met de waarde , waarbij voor , terwijl monotoon en positief, , is voor .
Toepassingen[bewerken | brontekst bewerken]
In 2008[2] is aangetoond dat het Liénard-systeem de werking beschrijft van een opto-elektronisch circuit dat gebruik maakt van een resonante tunneldiode om een laserdiode aan te sturen. Dit resulteert in een opto-elektronische voltage-gecontroleerde oscillator.
|