Martingaal

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de kansrekening modelleert een martingaal de tijdsevolutie van een toevalsgrootheid waarvan de verwachte toekomstige aangroei, zelfs voorwaardelijk ten opzichte van de huidige waarde, nul bedraagt.

Historische definitie[bewerken]

De term martingaal (Frans martingale = teugel) is afkomstig uit wereld van de casinos. Hij duidt daar op een bepaalde soort gokstrategie. De speler verhoogt na elke nederlaag zijn inzet zodanig, dat hij bij de eerste winst alle vorige verliezen recupereert.

Als gokstrategie is een martingaal een omgekeerde verzekeringspolis: de gokker heeft een grote kans om over de hele avond lichtjes positief te eindigen, en daarnaast een kleine kans om compleet failliet te gaan.

Hierdoor komt het wel eens voor dat de martingaal wordt gezien als een strategie, waarbij winst gegarandeerd is. Er bestaan websites die de techniek als zodanig uit de doeken doen en naar een aantal online casino's linken. Wat echter verzwegen wordt is dat verliezen weliswaar weinig voorkomen, maar zeer hard aankomen wanneer het toch gebeurt. Bovendien kennen veel online casino's maximuminzetten waardoor een martingaalspeler op een gegeven moment zijn inzetreeks niet meer kan voortzetten. Ook wanneer dit niet het geval is stapelen de verliezen zich al vrij snel op omdat men iedere keer de inzet tenminste moet verdubbelen. Uiteraard zijn dergelijke websites geplaatst door de casino's zelf, die er alle baat bij hebben spelers aan te trekken.

In een eerlijk kansspel vormt het fortuin van de gokker (onafhankelijk van de gevolgde strategie) een martingaal in de wiskundige zin van het woord.

Wiskundige definitie[bewerken]

Een martingaal is een reëelwaardig stochastisch proces

\left((\Omega,\mathcal{A},P),(\mathcal{A}_t|t\in T),(X_t|t\in T),(\mathbb{R},\mathcal{B})\right)

met totaal geordende tijdstippenverzameling T, en met de bijkomende eigenschappen dat:

  1. de individuele stochastische variabelen Xt integreerbaar zijn;
  2. de voorwaardelijke verwachting van Xt ten opzichte van de sigma-algebra \mathcal{A}_s voor een vroeger tijdstip s, gelijk is aan Xs.

Vaak worden de sigma-algebra's \mathcal{A} en \mathcal{A}_t niet uitdrukkelijk gedefinieerd en veronderstellen we impliciet

  • \mathcal{A}=\sigma\left(\{X_s|s\in T\}\right)
  • \mathcal{A}_t=\sigma\left(\{X_s|s\leq t\}\right)

De voorwaardelijke verwachting is slechts op een nulverzameling na gedefinieerd, dus de uitdrukking "gelijk aan" hierboven moet gelezen worden als "bijna zeker gelijk aan".

Voorbeelden[bewerken]

Zij T=\mathbb{N}, en zijn \{K_n|n\in\mathbb{N}\} een oneindige rij onderling onafhankelijke stochastische variabelen die met kans 1/2 telkens de waarde "kop" of "munt" aannemen.

Zij voor elke n\in\mathbb{N}, de variabele Xn gegeven door

X_n=\sum_{i=0}^n1_{(K_i\hbox{ is munt})}-1_{(K_i\hbox{ is kop})}

Dat wil zeggen, we gooien telkens opnieuw een eerlijk muntstuk op; als het Europese symbool bovenaan ligt, winnen we één euro; als de nationale kant boven ligt, verliezen we één euro.

Het proces (Xn)n is een martingaal: hoe vaak we in het verleden ook gewonnen of verloren hebben, de verwachting van onze toekomstige winst blijft nul.

E\left[X_{n+k}|X_0,X_1,\ldots,X_n\right]=X_n\hbox{ bijna zeker}.

Het proces (Xn)n uit dit voorbeeld is de stochastische wandeling (in dimensie één), die zelfs in Nederlandse teksten vaak de Engelse naam random walk krijgt.

Iets minder voor de hand liggend, maar eveneens waar, is dat de kwadratische afwijking van het gemiddelde min de gemiddelde kwadratische afwijking van het gemiddelde

Y_n=X_n^2-n

een martingaal vormt.

De Brownse beweging is een martingaal met continue tijdsparameter.

Een heel algemene klasse van voorbeelden van martingalen krijgen we, door de voorwaardelijke verwachting van één gegeven integreerbare stochastische variabele X ten opzichte van een stijgende familie van sigma-algebra's te bekijken:

X_t=E\left[X|\mathcal{A}_t\right]

De stochastische wandeling en de Brownse beweging behoren niet tot deze klasse.

Elementaire eigenschap[bewerken]

De verwachtingswaarde van een martingaal is op alle tijdstippen dezelfde.

Halve martingalen[bewerken]

Als we de voorwaarde "bijna zeker gelijk aan" vervangen door "bijna zeker kleiner dan of gelijk aan" krijgen we een bovenmartingaal of supermartingaal:

E\left[X_t|\mathcal{A}_s\right]\leq X_s\hbox{ bijna zeker.}

Het tegengestelde begrip heet benedenmartingaal of submartingaal:

E\left[X_t|\mathcal{A}_s\right]\geq X_s\hbox{ bijna zeker.}

Een proces is uiteraard een martingaal als en slechts als het zowel een boven- als benedenmartingaal is.

Voorbeeld[bewerken]

Neem opnieuw het voorbeeld van de stochastische wandeling, maar met een onevenwichtig muntstuk dat gemiddeld zes op de tien keren in ons nadeel valt. Dan is ons fortuin niet langer een martingaal, maar wel een bovenmartingaal.

Het gemiddelde verlies per spelbeurt bedraagt 20 cent. Het verschil tussen ons fortuin en het gemiddeld te verwachten fortuin is opnieuw een martingaal:

Y_n=X_n+n/5

Stoptijden[bewerken]

Onder bepaalde voorwaarden is de verwachtingswaarde van een martingaal op een stoptijd S, gelijk aan zijn algemene verwachtingswaarde:

E\left[X_S\right]=E\left[X_1\right].