Verwachting (wiskunde)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de kansrekening is de verwachting (of verwachtingswaarde) van een stochastische variabele de waarde die deze stochastische variabele 'gemiddeld genomen' zal aannemen. Dit gemiddelde is het gewogen gemiddelde van alle mogelijke uitkomsten met als gewichtsfactor de kans dat een bepaalde waarde zich voordoet. Pascal en Fermat kwamen in 1654 tot dit begrip bij hun oplossing van het puntenprobleem.

De verwachting kan berekend worden door de som (of integraal) te nemen van elke mogelijke uitkomst van de stochastische variabele vermenigvuldigd met de kans op deze uitkomst. De verwachting van de stochastische variabele X wordt genoteerd als E(X) (ook wel als E[X] of EX). De letter E komt van expectation, het Engelse woord voor verwachting.

De stochastische variabele hoeft niet noodzakelijkerwijs de verwachte waarde zelf te kunnen aannemen. Stel bijvoorbeeld dat men een worp doet met een zuivere dobbelsteen. Er zijn zes mogelijke uitkomsten, die alle met kans 1/6 optreden. De verwachting van de uitkomst van de worp is dus 1/6 + 2/6 + ... + 6/6 = 7/2, ook al kan de uitkomst van een individuele worp nooit 7/2 zijn.

Verwachting van een continue stochastische variabele[bewerken]

Een continue stochastische variabele X met kansdichtheid f_X(x) heeft als verwachting:

E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} x f_X(x){\rm d}x.

Voorbeeld[bewerken]

Beschouw de continue stochastische variabele X met waardenbereik [0,2] en kansdichtheid f_X(x) = \tfrac{3}{8} x^{2} voor x \in [0,2], en f_X(x) = 0 voor x \notin [0,2].

De verwachting van deze stochastische variabele is:

E(X) = \int_0^2x \tfrac{3}{8} x^2{\rm d}x = 1{,}5.

Verwachting van een discrete stochastische variabele[bewerken]

Een discrete stochastische variabele X met kansfunctie p_X(x) heeft de volgende verwachting:

\,E(X) = \sum_x x p_X(x).

Voorbeeld[bewerken]

Beschouw de discrete stochastische variabele X met waardenbereik \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} en kansfunctie p_X, gegeven door:

p_X(1) = P(X = 1)= 0{,}25,
p_X(2) = P(X = 2)= 0{,}25,
p_X(3) = 0{,}3,
p_X(4) = 0{,}08,
p_X(5) = 0{,}08,
p_X(6) = 0{,}04.

De verwachting van X is:

E(X) = \sum_{x=1}^6 x p_X(x) = 1 \times 0{,}25 + 2 \times 0{,}25 + 3 \times 0{,}3 + 4 \times 0{,}08 + 5 \times 0{,}08 + 6 \times 0{,}04 = 2{,}61

Abstracte definitie[bewerken]

Als X een stochastische variabele is op de kansruimte (Ω, Σ, P), dan is de verwachting van X, formeel gedefinieerd met behulp van de volgende Lebesgue-integraal:

\operatorname{E}(X) = \int_\Omega X dP= \int_\Omega X(\omega) P(d\omega)

Rekenregels[bewerken]

\operatorname{E}(X+Y) = {E}(X) + {E}(Y)
\operatorname{E}(cX)  = c{E}(X)
\operatorname{E}(c)   = c
\operatorname{E}(XY)  = {E}(X){E}(Y), als X en Y onderling onafhankelijk zijn.

Verwachtenutshypothese[bewerken]

Nadat het begrip verwachting in de zeventiende eeuw geïntroduceerd was, vond het toepassing in risico-neutraliteit bij kansspelen. Kansspelen waren een populair onderwerp in de vroege kansrekening. Risico-neutraliteit houdt in dat twee opties als gelijkwaardig worden beschouwd, als de verwachting bij beide gelijk is. Dat heeft tot gevolg dat als de verwachte winst van een kansspel oneindig groot is, elke mogelijke eindige inzet te verdedigen is. Dit is het geval bij de Sint-Petersburgparadox, waar voor de speler op basis van risico-neutraliteit elke inzet acceptabel is, maar waar vrijwel iedereen slechts bereid is tot een beperkte inzet. Bernoulli loste de paradox in 1738 op door te stellen dat kansen verschillend worden beoordeeld op basis van de morele verwachting of nut. Risico-afkerigheid is voor velen de aantrekkelijkere optie; de kans om oneindig veel te winnen weegt niet op tegen de kans het hele vermogen te verliezen. Bernoulli kwam zo tot een vroege versie van de verwachtenutshypothese (expected utility hypothesis), waarin de omstandigheden waarin iemand zich bevindt, van invloed zijn op de de inzet van de speler.