Nilpotente matrix

In de lineaire algebra heet een vierkante matrix nilpotent als de matrix enige malen met zichzelf vermenigvuldigd de nulmatrix oplevert.

Definitie

De n×n-matrix A heet nilpotent met index s als

$\!\,A^s=0$ en $A^{s-1}\ne 0$.

Eigenschappen

• De index s van een nilpotente n×n-matrix is kleiner of gelijk aan n;
• De eigenwaarden van een nilpotente matrix zijn alle gelijk aan 0.
• Omgekeerd geldt ook dat een matrix waarvan alle eigenwaarden gelijk zijn aan 0, nilpotent is.
• De determinant en het spoor van een nilpotente matrix zijn 0.
• Een nilpotente matrix is niet inverteerbaar;
• Een bovendriehoeksmatrix of onderdriehoeksmatrix, waarvan de elementen op de hoofddiagonaal 0 zijn, is nilpotent.

Voorbeelden

Voor de matrix $A= \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ geldt: $A^2 =\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$, dus A is nilpotent met index 2

Voor de matrix $B= \begin{bmatrix} 0 & 1 & 7 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0&0&0 \end{bmatrix}$ geldt: $B^2= \begin{bmatrix} 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0&0&0 \end{bmatrix}$ en $B^3= \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0&0&0 \end{bmatrix}$, dus B is dus nilpotent met index 3.