Overleg:Symmetriegroep

Symmetriegroep van een metrische ruimte

Dit nieuwe onderdeel in het artikel laat ruimte voor vraagtekens. In principe denk je bij een symmetriegroep aan een ruimte met een Euclidische metriek. Het kopje suggereert nu min of meer dat ook bij andere gehanteerde metrieken er een symmetriegroep kan zijn. Weten we dit zeker? En zijn er dan voorwaarden waaraan zo'n metriek moet voldoen? En welke voorwaarden zijn dat dan precies? Bob.v.R (overleg) 17 jul 2017 17:40 (CEST)

Zie bv de Engelse Wikipedia. Madyno (overleg) 17 jul 2017 18:03 (CEST)

Het kan bij iedere metriek, je kan alleen symmetrie dan niet altijd uitleggen in termen van translatie, rotatie en spiegeling, zoals dat wel kan in (in ieder geval) de een-, twee- en driedimensionale euclidische ruimte. - Patrick (overleg) 18 jul 2017 08:47 (CEST)

Er staat nu: De genoemde verzameling punten als metrische ruimte (met dezelfde afstanden) heeft dan een symmetriegroep die isomorf is met die van de verzameling als deelverzameling van de eendimensionale euclidische ruimte. Als dit geldt voor iedere metriek, bv. ook voor de discrete metriek, dan vermoed ik dat de genoemde isomorfie ook bestaat als er geen metriek is. Klopt dat? Bob.v.R (overleg) 18 jul 2017 12:30 (CEST)

Ik bedoel met dezelfde afstanden als in de euclidische ruimte. De symmetriegroep hangt af van de metriek, dus het geldt niet voor iedere metriek. - Patrick (overleg) 18 jul 2017 13:17 (CEST)

'Dezelfde afstanden als in de Euclidische ruimte' is m.i. onzinnig als er een heel andere metriek wordt gebruikt. Het heeft weinig zin om de numerieke waarde van de afstand in de andere metriek te vergelijken met de euclidische afstand. Ten tweede: hierboven zeg je Het kan bij iedere metriek en vervolgens merk je op het geldt niet voor iedere metriek. Het maakt het overleg over dit onderwerp voor mij wat lastig, als je zo snel van 'mening' (?) verandert. En ik krijg hierdoor wel nog meer twijfels of dit stukje artikeltekst correct is. Bob.v.R (overleg) 18 jul 2017 13:41 (CEST)

"Het kan bij iedere metriek" sloeg op de algemene vraag of er bij iedere metriek een symmetriegroep kan zijn (d.w.z. gedefinieerd is voor een deelverzameling of object in die ruimte). "De genoemde verzameling punten als metrische ruimte (met dezelfde afstanden)" definieert een bepaalde metrische ruimte. Ik ben dus niet van mening veranderd. - Patrick (overleg) 18 jul 2017 14:10 (CEST)

Voor de goede orde: wat wordt hierin precies bedoeld met de woorden met dezelfde afstanden? Bob.v.R (overleg) 18 jul 2017 15:13 (CEST)

Zie Afstand#Afstand_in_de_gewone_meetkunde. - Patrick (overleg) 18 jul 2017 15:33 (CEST)

Als dat je reactie is, dan herhaal ik mijn punt van hierboven: Het heeft weinig zin om de numerieke waarde van de afstand in de andere metriek te vergelijken met de euclidische afstand. Ben je het daarmee eens? Of zie jij wel een zinvolle vergelijking van numerieke waardes van afstanden afkomstig uit twee geheel verschillende metrieken? Als jij zo'n vergelijking wel als zinvol beschouwt dan is mijn vervolgvraag: welke zinvolle observaties denk je te kunnen halen uit een dergelijke vergelijking? Bob.v.R (overleg) 18 jul 2017 16:26 (CEST)

Andere vraag: Patrick schrijft hierboven De symmetriegroep hangt af van de metriek, dus het geldt niet voor iedere metriek. Graag zou ik heel precies vernemen wat hier door Patrick bedoeld wordt met het. Bob.v.R (overleg) 18 jul 2017 15:21 (CEST)

"De genoemde verzameling punten als metrische ruimte heeft dan een symmetriegroep die isomorf is met die van de verzameling als deelverzameling van de eendimensionale euclidische ruimte.", daarom staat erbij "met dezelfde afstanden". - Patrick (overleg) 18 jul 2017 15:33 (CEST)

Volgens mij keren we daarmee terug bij 'af' en hiermee bedoel ik met 'af' vraag 2 en vraag 3 uit mijn overlegbijdrage van 17 jul 2017 17:40. Ik zou dan graag alsnog een reactie zien op deze vraag 2 en vraag 3. Bob.v.R (overleg) 18 jul 2017 16:36 (CEST)

"Dezelfde afstanden" betekent de geïnduceerde metriek, misschien is die term verhelderend. - Patrick (overleg) 18 jul 2017 22:14 (CEST)

De zin, in het artikel, Het is ook mogelijk de symmetriegroep van een metrische ruimte te definiëren lijkt, in deze formulering, te suggereren dat we tot nu toe niet met een metrische ruimte maken hadden. Maar de euclidische metriek is toch ook wel degelijk een metriek? De formulering zou nauwkeuriger moeten, lijkt mij. Bob.v.R (overleg) 18 jul 2017 16:47 (CEST)

Het kopje van dit artikelonderdeel suggereert dat een metrische ruimte een symmetriegroep kan hebben. Is dat echt het geval? In het voorgaande gaat het er juist over dat een object een symmetriegroep heeft. Bob.v.R (overleg) 18 jul 2017 21:26 (CEST)

Ik heb het nog wat aangepast. - Patrick (overleg) 18 jul 2017 22:14 (CEST)

Ik zie dat het volgens mij problematische 'dezelfde afstanden' nu is verwijderd, maar nu verschijnt er ineens een geïnduceerde metriek. Ik heb geen idee wat het is, en ik neem aan dat dit ook voor veel lezers zal gelden. Is daar een heldere definitie (dus geen redirect naar 'metriek'; wat een metriek is weet ik wel) van beschikbaar? Bob.v.R (overleg) 19 jul 2017 00:20 (CEST)

Het is een redirect naar Metrische ruimte. Zie het eind van de intro daarvan. - Patrick (overleg) 19 jul 2017 07:30 (CEST)

Ook in het deel betreffende het object dat een deelverzameling is van een rechte lijn zie ik nu beweringen staan die m.i. zeer problematisch zijn (zie mijn opmerkingen aldaar). Is het een idee om dit hele artikelonderdeel weer te verwijderen? We blijven steeds maar onduidelijkheden tegenkomen namelijk. Bob.v.R (overleg) 19 jul 2017 01:04 (CEST)

Een lijn in een vlak heeft onder meer spiegelsymmetrie in diezelfde lijn, en een object op die lijn ook, want de spiegeling van het vlak beeldt de lijn en het object op zichzelf af, en behoort dus tot de symmetriegroep van de lijn resp. het object. Het toegevoegde concept van de symmetriegroep van het object op zich, die die spiegelsymmetrie buiten beschouwing laat, lijkt zelfs beter aan te sluiten op jullie idee van symmetrie van het object. - Patrick (overleg) 19 jul 2017 07:56 (CEST)

Transformaties

Het wordt me niet duidelijk. De symmetriegroep van kabouter Plop kent slechts 2 elementen: de identiteit en de spiegeling om z'n 'middenvlak'. Deze transformaties transformeren alleen Plop, en hebben verder nergens mee te maken. Niks met metrische ruimten of wat ook. Madyno (overleg) 18 jul 2017 22:51 (CEST)

Interessant punt, dit lijkt op mijn opmerking hierboven van 18 juli 2017 12:30 uur. - Bob.v.R (overleg) 19 jul 2017 00:25 (CEST)

Ik kijk op het ogenblik tegen een glazen object aan dat om/over een kaars is geplaatst. Het is cilindervormig, dwz alle horizontale doorsneden zijn cirkels, en verticaal symmetrisch: het horizontale snijvlak door het midden is spiegelvlak. Volgens mij bestaat z'n symmetriegroep uit rotaties om de lichaamsas en de genoemde verticale spiegeling. Ik hoef deze transformaties alleen te beschouwen als afbeeldingen van het object oop zichzelf. Madyno (overleg) 19 jul 2017 12:41 (CEST)

Er zijn toch daarnaast ook de oneindig veel spiegelingen in een vlak dat de middellijn van de cilinder bevat? Bob.v.R (overleg) 19 jul 2017 13:47 (CEST)

Right. Madyno (overleg) 19 jul 2017 14:00 (CEST)

Hoe dan ook, een interessante vraag ter discussie kan hier zijn welke van onderstaande beweringen juist is.

A. Het beschrijven van de symmetriegroep van een dergelijk object staat volledig los van de metriek.

B. Bij het beschrijven van de symmetriegroep van een dergelijk object wordt impliciet gebruik gemaakt van het feit dat het object zich bevindt in een euclidische ruimte, met de euclidische metriek.

Bob.v.R (overleg) 19 jul 2017 14:42 (CEST)

Je kan symmetrie in maximaal 3D waarschijnlijk definiëren met daadwerkelijke fysieke star veronderstelde objecten. Maar daarmee kan je ook een lineaal met willekeurig nauwkeurige maatverdeling maken (je kan bijvoorbeeld met een passer en een lineaal zonder maatverdeling het midden van een lijnstuk bepalen), dus dan heb je toch een metriek. - Patrick (overleg) 20 jul 2017 05:59 (CEST)

Van het bovengenoemde cilindervormige object kan de symmetriegroep beschreven worden zonder direct te refereren aan een ruimte en een metriek. Natuurlijk zijn die wel op de achtergrond aanwezig, maar de groep kan zonder geformuleerd worden. Zij bestaat uit de rotatiies $\rho _{\alpha }$ om de as en over een hoek $\alpha$, de spiegeling $\tau$ om het middenvlak en de spiegelingen (bedankt Bob) $\sigma _{\phi }$ om het vlak door de as in de positie $\phi$. Alles relatief t.o.v. het object zelf. Madyno (overleg) 20 jul 2017 10:53 (CEST)

Impliciet is de euclidische metriek toch wel als noodzakelijk ingrediënt aanwezig. Lengtes van onderdelen van het object zijn al of niet gelijk aan lengtes van andere onderdelen van het object. Bij gelijkheid, zou er mogelijk een symmetrie-operatie zijn die het ene onderdeel afbeeldt op het andere onderdeel. De lengte zoals hier genoemd, is de lengte volgens de euclidische metriek. Bob.v.R (overleg) 20 jul 2017 16:50 (CEST)

Zoals ik al schreef. Ik wil alleen de intro eenvoudig houden en niet gelijk over metrische ruimten spreken. Bovendien zijn de genoemde transformaties niet noodzakelijk isometrieën van de hele ruimte waarin het object zich bevindt. Madyno (overleg) 20 jul 2017 18:03 (CEST)

Dat lijkt me prima. Het impliciete gebruik van de euclidische ruimte kan 'impliciet' blijven. De vraag voor mij blijft wat de sectie 'Symmetriegroep van een object in een metrische ruimte' toevoegt aan dit artikel en of we tevreden zijn met de inhoud ervan. Bob.v.R (overleg) 20 jul 2017 20:03 (CEST)

Er is terecht geen link naar Transformatie (wiskunde), want de definitie daar is niet bruikbaar, maar er staat niet wat dan wel bedoeld wordt met transformatie. Als alternatief voor isometrieën van de hele ruimte kan ook worden gebruikt "isometrieën van de verzameling waarover het object zich uitstrekt, naar diezelfde verzameling". - Patrick (overleg) 21 jul 2017 06:40 (CEST)

Dat laatste maakt overigens alleen echt verschil als de hele ruimte van een hogere dimensie is dan het object. - Patrick (overleg) 21 jul 2017 09:07 (CEST)

Ik realiseer me nu dat zeggen dat de symmetriegroepen van twee objecten gelijk zijn (in de normale betekenis) dan niet meer kan (het moet ingewikkelder geformuleerd worden), want als de isometrieën een ander domein hebben zijn ze strikt genomen sowieso verschillend. Het lijkt me daarom toch beter als het domein op zijn minst een euclidische deelruimte van de hele ruimte is (althans wanneer over "de symmetriegroep van het object" gesproken wordt; het andere kan nog steeds "de symmetriegroep van het object op zich" genoemd worden). - Patrick (overleg) 21 jul 2017 11:26 (CEST)

De sectie 'Symmetriegroep van een object in een metrische ruimte' is door de aanpassingen duidelijk verbeterd. Alleen de titel klopt niet, want het gaat vooral om de invloed van de dimensie van de euclidische ruimte op de mogelijk aanwezige symmetrieën. Over andere metrieken, zoals de discrete metriek of de Manhattan-blokmetriek wordt helemaal niet gesproken. Bob.v.R (overleg) 21 jul 2017 13:32 (CEST)

Ik heb hem aangepast. - Patrick (overleg) 21 jul 2017 13:56 (CEST)

Ik heb de titel van die sectie wat 'compacter' gemaakt. Bob.v.R (overleg) 21 jul 2017 19:15 (CEST)

Veranderingen

Ik ben niet blij met al deze veranderingen Ik zou toch liever zien dat stap voor stap overlegd wordt. Madyno (overleg) 22 jul 2017 23:51 (CEST)

Hierboven wordt het een en ander besproken, ook naar aanleiding van wat jij naar voren heb gebracht, bijvoorbeeld over het domein van de isometrieën en het gebruik van het woord "transformatie", maar daar heb je verder niet op gereageerd. - Patrick (overleg) 23 jul 2017 07:37 (CEST).

Eigenschappen en aantallen

De 3e alinea begint met: Voor $k$ een viervoud plus 0, 1, 2, 3 is ... Maar dat zijn toch alle k? ????Madyno (overleg) 24 jul 2020 10:27 (CEST)

Je moet wel de hele zin lezen, er wordt aan deze vier mogelijkheden gerefereerd met "resp. 7, 1, 5, 1". - Patrick (overleg) 24 jul 2020 10:59 (CEST)

Die hele zin lees ik, maar mijn vraag blijft. Madyno (overleg) 24 jul 2020 13:21 (CEST)

Het antwoord is ja, het geheel van waarden wordt in vier categorieën verdeeld. Het lijkt me inhoudelijk en taalkundig helemaal goed en duidelijk, heb je een suggestie om het anders te formuleren? - Patrick (overleg) 24 jul 2020 15:21 (CEST)

En wat betekent: De kleinste abstracte groepen die voor geen enkele symmetriegroep van toepassing is, ... ??? Madyno (overleg) 24 jul 2020 10:42 (CEST)

De abstracte groep is een eigenschap van een symmetriegroep. Er wordt dus bedoeld dat geen enkele symmetriegroep deze eigenschap heeft. - Patrick (overleg) 24 jul 2020 10:59 (CEST)

Is een eigenschap van toepassing?? Madyno (overleg) 24 jul 2020 13:24 (CEST)

Ook hier, heb je een suggestie om het anders te formuleren? - Patrick (overleg) 24 jul 2020 15:21 (CEST)

Ik heb inmiddels bedacht dat "de abstracte structuur" een goede term is voor de bijbehorende abstracte groep, ik heb het veranderd. - Patrick (overleg) 29 jul 2020 07:46 (CEST)

Intro

Aangezien een specifieke definitie ontbreekt, moeten we terugvallen op de intro. Ik heb daar steeds meer moeite mee. Voorbeeld: wat zijn de symmetrieën van een vierkant V? Gaat het alleen om afbeeldingen van V op V? Dan is V vanzelf "invariant", als die term al van toepassing is. Moet het een isometrie zijn? En het is natuurlijk mogelijk massa's afbeeldingen in het vlak te bedenken die de structuur van het vlak flink deformeren, maar wel V op V afbeelden. Madyno (overleg) 24 jul 2020 13:56 (CEST)

De Duitse Wikipedia ziet dat probleem ook, denk ik, en spreekt van "Kongruenzabbildung", dus isometrische transformaties, en ik zou zeggen: van het object, dus op zichzelf. Madyno (overleg) 24 jul 2020 14:05 (CEST)

In de intro staat dat min of meer, alleen dat 'invariant' verstoort de boel weer. Madyno (overleg) 24 jul 2020 14:13 (CEST)

Bedenk wel dat een object in dit verband niet altijd alleen maar een verzameling is. Een vierkante kleurenplaat neemt op zijn kop wel dezelfde ruimte in, maar ziet er meestal anders uit, en is dan niet invariant onder deze rotatie. Zie ook https://nl.wikipedia.org/w/index.php?title=Symmetrie&oldid=49280296#Formeel. - Patrick (overleg) 24 jul 2020 16:03 (CEST)