Penrose-betegeling

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Voorbeeld van een Penrose-betegeling.
Dezelfde betegeling, nu met ingekleurde complete "sterren".
De set van Penrose-tegels waarmee bovenstaande Penrose-betegeling is geconstrueerd. Φ is het getal van de Gulden Snede.
Een andere Penrose-betegeling, met dezelfde set tegels.
Een andere set Penrose-tegels.

Een Penrose-betegeling is een niet-periodieke betegeling, gegenereerd door een aperiodieke verzameling van twee of enkele "proto-tegels" en vernoemd naar Roger Penrose die deze verzamelingen in de jaren zeventig van de 20ste eeuw onderzocht. Aangezien alle betegelingen verkregen met de Penrose tegels niet-periodiek zijn, worden Penrose-betegelingen vaak aperiodieke betegelingen genoemd, omdat de betegelingen geen translatiesymmetrie kenen. Dat wil echter niet zeggen dat er geheel geen symmetrie in de betegelingen voorkomt: van de oneindig vele mogelijke betegelingen zijn er twee die zowel spiegelsymmetrie als vijfvoudige rotatiesymmetrie bezitten.

Eigenschappen[bewerken]

Penrose[1] ontdekte dat het vlak kan worden betegeld met slechts twee figuren of "tegels", waarbij:

a) het vlak kan worden betegeld (zonder overlapping en zonder gaten) door oneindig veel exemplaren van de twee tegels, op oneindig veel verschillende manieren;

b) geen enkele van deze betegelingen periodiek is (door een verschuiving in zichzelf kan overgaan);

c) elk eindig, begrensd deel van een betegeling een oneindig aantal malen voorkomt in elke andere betegeling.

Achtergrond[bewerken]

In 1981 kwam De Bruijn met een methode om Penrose-betegelingen te construeren[2] uit vijf families van parallelle lijnen, gebruik makend van een "cut and project" methode, waarin Penrose-betegelingen worden verkregen als tweedimensionale projecties van een vijfdimensionale kubieke structuur. In deze aanpak wordt een Penrose-betegeling beschouwd als een set van punten en vertices, terwijl de tegels als geometrische vormen slechts als bijproduct ontstaan wanneer men de hoekpunten verbindt.

Op 22 februari 2007 verscheen in Science een artikel[3] waarin de ontdekking van Penrose-betegelingen in middeleeuwse Islamitische architectuur wordt beschreven, vijf eeuwen voor hun ontdekking in het westen.

Zie ook[bewerken]

Literatuur[bewerken]

Bronnen[bewerken]

  1. Penrose, R. "Pentaplexity A Class of Non-Periodic Tilings of the Plane". The Mathematical Intelligencer 1979, vol. 2 nr. 1, pp 32-37. DOI:10.1007/BF03024384
  2. De Bruijn, Nederl. Akad. Wetensch. Indag. Math. 43, 39-52, 53-66 (1981). Algebraic theory of Penrose's nonperiodic tilings of the plane, I, II
  3. Lu, P.J. en P.J. Steinhardt (2007) "Decagonal and Quasi-Crystalline Tilings in Medieval Islamic Architecture", Science vol. 315, pp. 1106-1110. Beschikbaar via deze link
Animatie met driehoeken