Singuliere maat

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de maattheorie, een deelgebied van de wiskunde, worden twee positieve (of getekende- of complexe) maten μ en ν, die gedefinieerd zijn op een meetbare ruimte (Ω, Σ), singulier genoemd als er twee disjuncte verzamelingen A en B in Σ bestaan, waarvan de vereniging gelijk is aan Ω, zodanig dat μ gelijk nul is op alle meetbare deelverzamelingen van B, terwijl ν gelijk is aan nul op alle meetbare deelverzamelingen van A. Dit wordt aangegeven door \mu \perp \nu.

Een verfijnde vorm van de decompositiestelling van Lebesgue deelt een singuliere maat op in een singuliere continue maat en in een discrete maat. Zie hieronder voor voorbeelden.

Voorbeelden op Rn[bewerken]

Als een bijzonder geval wordt een maat, die op een Euclidische ruimte, Rn, is gedefinieerd singulier genoemd, wanneer deze maat singulier is met betrekking tot de Lebesgue-maat op deze ruimte. De Dirac-deltafunctie is een voorbeeld van een singuliere maat.

Voorbeeld 1 - Een discrete maat[bewerken]

De Heaviside-stapfunctie op de reële lijn,

H(x) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \left\{ \begin{matrix} 0, & x < 0; \\ 1, & x \geq 0; \end{matrix} \right.

heeft de Dirac-deltadistributie \delta_{0} ala haar distributionele afgeleide. Dit is een maat op de reële lijn, een "puntmassa" op 0. De Dirac-maat \delta_{0} is echter niet absoluut continu met betrekking tot de Lebesgue-maat \lambda, noch is \lambda absoluut continu met betrekking tot \delta_{0}: \lambda ( \{ 0 \} ) = 0 maar \delta_{0} ( \{ 0 \} ) = 1; als U de enige open verzameling is die niet 0 bevat, dan \lambda (U) > 0, maar \delta_{0} (U) = 0.

Voorbeeld 2 - Een singuliere continue maat[bewerken]

De Cantor-distributie heeft een cumulatieve distributiefunctie, die continu, maat niet absoluut continu is en inderdaad is het absoluut continue gedeelte gelijk aan nul: de distributiefunctie is singulier continu.

Zie ook[bewerken]

Referenties[bewerken]

  • (en) Eric W Weisstein, CRC Concise Encyclopedia of Mathematics, CRC Press, 2002. ISBN 1-58488-347-2.
  • (en) J Taylor, An Introduction to Measure and Probability, Springer, 1996. ISBN 0-387-94830-9.