Val met wrijving

Val met wrijving is de valbeweging van een voorwerp in een zwaartekrachtsveld, die gehinderd wordt door wrijving of weerstand van een gas of vloeistof. Ontbreekt deze wrijving, dan spreekt men van vrije val. Er zijn verschillende soorten wrijving, bijvoorbeeld die van Stokes en turbulentie (turbulent drag).

Stokes-wrijving

De formule van de krachten op een vallende massa m in een visceuze (stroperige) vloeistof luidt

$ma=kv-mg\,$

met

$m\,$ de massa van het vallende voorwerp

$a\!$ de versnelling van het vallende voorwerp

$k\,$ de wrijvingscoefficient

$v\,$ de verticale valsnelheid

$g\,$ de valversnelling.

Omhoog is hier gekozen als de positieve richting langs de coördinaatas, zodat de valversnelling -g bedraagt.

${\frac {dv}{dt}}=-g\left(1+{\frac {k}{mg}}v\right),$

$\int {\frac {1}{1+{\frac {k}{mg}}v}}\,dv=-g\int \,dt+C,$

${\frac {mg}{k}}\ln {\left(1+{\frac {kv}{mg}}\right)}=-gt+C,$

$v=v_{\infty }\left[\exp \left(-{\frac {gt}{v_{\infty }}}+{\frac {C}{v_{\infty }}}\right)-1\right],$

met de limiet

$v_{\infty }=\lim _{t\to \infty }v=-{\frac {m}{k}}g$

Als op $t=0$ de snelheid $v=v_{0}$ is, dan geldt:

$y=y_{0}-{\frac {m}{k}}\left\{\left(v_{0}+{\frac {mg}{k}}\right)\left(e^{{\frac {-k}{m}}t}-1\right)+gt\right\}.$

Turbulente wrijving

De vergelijking voor de krachten in het geval van bijvoorbeeld val met luchtweerstand wordt

$m{\frac {dv}{dt}}={\frac {1}{2}}\rho C_{D}Av^{2}-mg,$

met

$m\,$ de massa van het voorwerp,

$g\,$ de valversnelling,

$C_{D}\,$ de drag coefficient,

$A\,$ de dwarsdoorsnede (oppervlakte) van het voorwerp, haaks op de luchtstroom,

$v\,$ de verticale valsnelheid,

en $\rho \,$ de dichtheid van de lucht.

Deze formule geldt voor skydivers, parachutisten en alle voorwerpen met een Reynolds getal ruim boven de kritieke waarde. Als het voorwerp vanuit stilstand valt is de oplossing van de vergelijking

$v(t)=-v_{\infty }\tanh \left({\frac {gt}{v_{\infty }}}\right),$

met de eindsnelheid

$v_{\infty }={\sqrt {\frac {2mg}{\rho C_{D}A}}}.$

De snelheid kan geïntegreerd worden over de tijd en levert dan de verticale positie op als functie van de tijd:

$y=y_{0}-{\frac {v_{\infty }^{2}}{g}}\ln \cosh \left({\frac {gt}{v_{\infty }}}\right).$

Zie ook

• Vrije val
• Eindsnelheid
• Luchtweerstand
• Wet van Stokes
• Turbulentie